Recurso elaborado por Deya Marcela Santos Carvajal

El propósito de la pregunta de investigación es orientar una investigación articulando cada una de sus etapas. Ella permite definir el alcance de la investigación y enfocarla. Además, guía la selección de las metodologías adecuadas para llevar a cabo el proceso investigativo y, dentro de él, el análisis y la interpretación de los resultados. También ayuda a justificar el estudio que se realice, es decir, a expresar por qué es necesario realizar la investigación. Estos son algunos de los principales motivos por los cuales la pregunta de investigación es un componente muy importante del proceso investigativo. 

Este recurso le proporciona herramientas para comprender qué es la pregunta de investigación y cómo elaborarla. Usted encontrará información y actividades que le guiarán en el reconocimiento de las características de dicha pregunta, los pasos para formularla y los aspectos a tener en cuenta para evaluarla.  

La pregunta de investigación es el interrogante que el investigador busca resolver; en otras palabras, es el enunciado que precisa qué es lo que se quiere indagar con el propósito de resolver un problema de investigación. Cabe anotar, de antemano, que en algunos ámbitos es la pregunta de investigación la que por sí misma se usa para expresar directamente el problema de investigación. Adicionalmente, es importante tener en cuenta que dentro de sus características principales se encuentran la factibilidad, la relevancia y la novedad, las cuales se detallarán más adelante. Para comprender mejor en qué consiste esta pregunta, observe el siguiente ejemplo: 

¿Cuáles son los parámetros de la calidad del suelo que tienen una incidencia en la productividad de las plantaciones de palma que utilizan labranza cero y cultivos intercalados como técnicas de agricultura sostenible en el departamento del Cesar en Colombia? 

En este interrogante se puede observar que hay unos parámetros de la calidad del suelo que pueden incidir en la productividad de los cultivos y que estos parámetros pueden verse impactados por el uso de la labranza cero y de los cultivos intercalados.  Además, la pregunta precisa que es relevante investigar los cultivos de palma en el departamento del Cesar en Colombia, donde seguramente las condiciones climáticas tendrán algún impacto en la calidad del suelo y en, consecuencia, en la productividad en los cultivos (factores a evaluar en el desarrollo de la investigación a partir de lo que establece la pregunta). A partir de lo anterior, se puede inferir que la productividad de los cultivos agrícolas sostenibles es un tema de interés que requiere de atención, puesto que puede ser susceptible de mejora o porque quizá se está buscando replicar las prácticas sostenibles en otro tipo de cultivos. En esencia, este ejemplo muestra, justamente y de forma general, qué es una pregunta de investigación y exhibe las características que ella tiene. Expone cuál es el interés que tiene quien investiga y la información que una pregunta de investigación puede aportar.  

Ahora bien, a partir de todo lo dicho es pertinente comenzar a profundizar en los rasgos de la pregunta de investigación y en por qué y de qué manera este interrogante cumple con todos todos ellos. Esto se explica a continuación.  

Nota aclaratoria: Tenga en cuenta que en algunas disciplinas la pregunta de investigación se acompaña de una o dos preguntas de investigación complementarias que suplementan la pregunta principal con el objetivo de atender por completo al problema de investigación planteado. Estas preguntas tienen una relación directa y usualmente una desencadena las otras. Por cuestiones de propósito y extensión, este recurso no se enfocará en este tipo de preguntas, que son muy específicas de algunas disciplinas en particular. No obstante, es posible que la información que encuentre enseguida le ayude también a formular esas preguntas complementarias que se derivan de la pregunta de investigación central. 

A lo largo de esta sección, usted encontrará cualidades relevantes de una pregunta de investigación. Dichas cualidades permiten que la pregunta cumpla su propósito. Explican Farrugia et al. (2010) que a este conjunto de atributos se le denomina FINER por el acróstico que forman (Factible, Interesante, Ética, Novedosa y Relevante). Como verá más adelante, usted puede evaluar su pregunta de investigación considerando estos y otros atributos.  

Para explicar las características de la pregunta de investigación, emplearemos el ejemplo mencionado previamente junto con el problema de investigación al que dicha pregunta atiende. Observe: 

• • • Pregunta de investigación:

      ¿Cuáles son los parámetros de la calidad del suelo que tienen una incidencia en la productividad de las plantaciones de palma de aceite que utilizan labranza cero y cultivos intercalados como técnicas de agricultura sostenible en el departamento del Cesar en Colombia? 

    • Problema de investigación:

      Los cultivos de palma han propiciado la deforestación en el departamento del Cesar, Colombia. Hoy en día existen prácticas agrícolas sostenibles que buscan reducir la deforestación. Dentro de ellas se encuentran la implementación de cultivos intercalados, la labranza cero y la nivelación con láser en la tierra, las cuales han demostrado mejorar la productividad de distintos tipos de cultivos. Sin embargo, los efectos de la aplicación de dichas prácticas en las plantaciones de palma de aceite es un campo inexplorado y, por tanto, tampoco es conocido cómo ellas afectan la calidad del suelo para favorecer o no la productividad de estos cultivos. Es por esto que surge la necesidad de indagar qué parámetros de la calidad del suelo tienen una incidencia en la producción de palma cuando se aplican técnicas de agricultura sostenible, como la labranza cero y los cultivos intercalados, particularmente en el departamento del Cesar en Colombia.*  

*La formulación del problema de investigación generalmente tiene un mayor grado de complejidad del que aquí se presenta. No obstante, aquí se muestra de este modo a fin de establecer sintéticamente cuál es el problema al que responde la pregunta de investigación formulada. 

Ahora bien, considerando este ejemplo:

1. Lea las siguientes explicaciones sobre cada una de las características de la pregunta de investigación. 
2. Analice: ¿por qué esta característica es visible en la pregunta del ejemplo propuesto?
3. Dé clic en cada recuadro para observar de qué manera cada característica aplica al ejemplo en cuestión. 

Tenga en cuenta:

Una pregunta de investigación debe ser explícita y directa para señalar lo que el investigador quiere encontrar; así reflejará que es el punto de partida y abrirá el camino para continuar con el proceso de investigación. Esta pregunta no puede tener términos que sean confusos o abstractos. Adicionalmente, la pregunta de investigación debe ser precisa; esto quiere decir que debe delimitarse espacial, temporal y conceptualmente conforme a la especificidad que quien investiga considere relevante. La concreción con la que se plantee la delimitación espacial, temporal y conceptual va a facilitar la selección de una metodología que permita responderla. Además, considere que, si usted está planteando más de una pregunta de investigación –lo cual, como se anotó previamente, es una posibilidad–, debe haber una conexión lógica y clara entre todas las preguntas formuladas, que demuestre su vinculación y la necesidad de ser planteadas.  Son estas características esenciales las que, al final, constituyen una condición necesaria para que la pregunta sea comprensible y se pueda valorar su factibilidad, interés, novedad, ética y relevancia.

Precisamente, el ejemplo de pregunta de investigación dado expresa explícita, específica y directamente qué se quiere encontrar (los parámetros de calidad que inciden en la productividad de cultivos de palma en los que se aplican las técnicas de cultivos sostenible mencionadas). Además, tiene una delimitación conceptual y espacial –esta última, dada al especificar el departamento en el que se hará el estudio– que, en últimas, repercute en que sea factible. En general, el hecho de que la pregunta cumpla con estas características básicas permite valorarla considerando todos los atributos desarrollados hasta ahora en esta sección.

Visto lo anterior, pasemos ahora a estudiar concretamente cómo la pregunta de investigación se conecta con otros aspectos del proceso investigativo y por qué es tan importante su precisión. A continuación, se explican estos aspectos.

El diagrama expuesto a continuación representa las primeras etapas del proceso de investigación. Al navegar a través de él, usted podrá ver cómo la pregunta de investigación se conecta con etapas del proceso investigativo previas a su formulación e influencia las etapas posteriores. Además, podrá ver cómo estas explicaciones se aplican al ejemplo abordado previamente sobre los cultivos de palma. Considere que el orden del proceso investigativo ilustrado en el diagrama puede variar en función de las disciplinas; usted no siempre tiene que ceñirse a él –aunque, en general, es muy recomendable seguirlo–, sino que puede ser flexible en el orden en el que lo lleva a cabo según las necesidades mismas de su investigación.

Para observar el contenido completo del diagrama, haga clic sobre el nombre de cada etapa y en el botón que contiene el ejemplo respectivo.

No olvide que, en algunos casos, según las características de la disciplina y el contexto en el cual se esté formulando la pregunta de investigación, es posible que la pregunta de investigación sea el planteamiento mismo del problema. Otra posibilidad es que esta se formule después del planteamiento del problema, como se sugiere en este recurso. La última posibilidad es que algunas veces no se formule explícitamente una pregunta de investigación como parte de los requisitos de la disciplina, aunque, en todo caso, esta siempre habrá de estar tácitamente en el proceso investigativo, pues es nuclear en él (siempre hay un interrogante al que se busca responder).

Ejercicio

Considerando todo lo que hemos visto hasta ahora respecto a la pregunta de investigación, sus características y su articulación con el proceso investigativo, es momento de que afiance sus conocimientos. Para ello:

1. Lea la siguiente situación (Situación 1).
2. Seleccione aquella de las preguntas presentes en las opciones de respuesta que considere que atiende a cada situación de forma coherente y constituye una pregunta de investigación.
3. Escuche la retroalimentación en audio que se reproducirá inmediatamente después de que seleccione su respuesta.

• Considerando lo que haya aprendido a partir del ejercicio y la retroalimentación obtenida, ahora analice la Situación 2 y repita el proceso  (leer, seleccionar la respuesta que considere y escuchar la retroalimentación). 

Estas situaciones exponen planteamientos que, aunque por sí solos no dan cuenta plenamente un problema de investigación, resultan apropiados para formular uno. Las preguntas que constituyen la opción de respuesta correcta en cada situación atienden a lo que allí se plantea ilustrando qué es lo que resulta procedente y factible investigar.

Así, hasta aquí hemos abordado de manera general qué es la pregunta de investigación y cómo se articula con varias etapas del proceso investigativo. Hemos establecido que esta pregunta debe ser factible de investigar, novedosa, ética, relevante e interesante para el investigador y para su comunidad. Además, hemos visto que la pregunta de investigación tiene una relación interdependiente con el tema de investigación –con el cual se asocia–, el planteamiento del problema –al cual responde–, la formulación de la hipótesis –dada como una respuesta provisional sujeta a validación–, los objetivos –planteados como metas a cumplir para contestarla– y la metodología de investigación –aplicada para responderla–.

Ahora, profundicemos en las condiciones necesarias para elaborar esta pregunta y en el proceso para formularla.

Muchos son los elementos importantes para elaborar una pregunta de investigación. Aquí, en concordancia con lo expuesto en el diagrama anterior, nos interesa destacar que lo primero que se necesita para construir la pregunta de investigación es identificar el tema y formular el problema. Como dijimos, el tema implica establecer el asunto a tratar en la investigación. Por su parte, el problema de investigación implica expresar una incógnita a despejar. Para poder plantear este último adecuadamente y, así, formular idóneamente la pregunta de investigación, es importante saber diferenciarlo de una situación problemática. Veamos en qué consiste y por qué es importante esta distinción.

La situación problemática

Es aquella que presenta un problema, una dificultad, una anomalía o una situación negativa en un contexto determinado. Implica una distancia entre algo que es (una situación actual, vigente o existente) y lo que ese algo debería ser; por ejemplo, el acceso a la educación primaria debería ser para todos los niños, pero en realidad no todos los niños tienen acceso a ella (he ahí la situación problemática).

Las situaciones problemáticas requieren de acciones para ser resueltas, pero esas acciones no necesariamente implican el desarrollo de una investigación. Por ejemplo, la deforestación causada por los cultivos de palma en el departamento del Cesar es una situación problemática (genera múltiples afectaciones socioambientales y no debería suceder) que no necesariamente requiere de una investigación para ser resuelta; se podría solucionar desde distintos ángulos (administrativos, políticos, económicos o educativos, por ejemplo) o acciones (como una intervención estatal o una aplicación sostenible de alternativas agrícolas sustentables para la comunidad) sin necesidad de llevar a cabo un proceso investigativo.

El problema de investigación

El problema de investigación, por su parte, muchas veces surge de observar una situación problemática cuya resolución es compleja. Cuando se plantea un problema de investigación en muchos casos se describe una situación problemática y se delimita y se justifica qué es lo que se necesita investigar en el marco de ella. Ciertamente, pese a la existencia de estas relaciones, el problema es distinto de la situación problemática porque él sí amerita ser indagado mediante un proceso investigativo, mientras que la situación problemática por sí sola no.

Para plantear un problema de investigación es necesario hacer una revisión de fuentes y conocer el estado del arte del asunto a investigar con el objetivo de poder identificar qué se ha hecho, qué metodologías existen para abordar la problemática y en qué ámbitos hay una posible escasez de investigación. Esto le permitirá reconocer si, en efecto, hay un problema de investigación en sí, qué lo justifica y cuál es el alcance que podría tener la investigación a desarrollar. Si quiere ampliar sus conocimientos sobre este tema en particular puede consultar el recurso Estado del arte.

Como hemos visto antes, la deforestación en el departamento del Cesar causada por los cultivos de palma no es un problema de investigación en sí, pero sí lo es saber cuáles son los parámetros de la calidad del suelo que inciden en la productividad de estos cultivos cuando se realizan a partir de técnicas concretas de agricultura sostenible. Esto es algo que requiere ser resuelto con una investigación; su resolución contribuiría no solo a subsanar el vacío en el conocimiento del cual ya se ha hablado en secciones anteriores de este recurso, sino a promover una aplicación sostenible de este tipo de cultivos como una alternativa productiva para evitar la deforestación -que, como dijimos, no es el problema de investigación en sí-.

Para comprender mejor la distinción entre la situación problemática y el problema de investigación, le proponemos hacer el siguiente ejercicio breve:

Supongamos que usted se encuentra interesado/a en el tema “El incremento en la resistencia a los antibióticos por su inadecuada disposición final”. Con esto en mente, analice el siguiente enunciado:

Algunos antibióticos no son biodegradables y no se descomponen por completo, por lo cual quedan remanentes en aguas residuales y esto genera diferentes problemáticas ambientales. Sumado a ello, su presencia en las distintas matrices ambientales representa un problema para la salud pública.

¿Este enunciado plantea una situación problemática o un problema de investigación?

Como habrá notado, aquí se expresa una situación problemática; en ella no se explicita el deseo o la necesidad de indagar una solución a la dificultad planteada. Inclusive, lo que en ella se expresa se puede solucionar sin necesidad de hacer una investigación (por ejemplo, a través de la regulación de la disposición final de los antibióticos por parte de las autoridades ambientales).

Si se quisiera plantear un problema de investigación relacionado con este tema, podría hacerse de la siguiente forma:

Analicemos este ejemplo. En principio, en él se hace alusión a un compuesto particular: la azitromicina; también a su presencia en un territorio concreto: la cuenca del río Bogotá. Se señala que este compuesto constituye un grave potenciador de la resistencia a los antibióticos y, luego, se expone una consecuencia de esta problemática: el desencadenamiento a un problema de salud pública. Como usted habrá notado, hasta este punto hay una situación problemática a partir de la cual se señala una dificultad presente en la ciudad que debe ser atendida. Queda claro que el compuesto se debe remover y en dónde se debe llevar a cabo el proceso de remoción.

Sin embargo, no hay todavía un problema de investigación. Este se termina de construir cuando, a lo anterior, se añade la anotación sobre qué se debe utilizar para atender al problema (el uso de métodos no convencionales para la remoción) y, además, se expresa la necesidad de hacer más estudios sobre dichos métodos para la eliminación del antibiótico. Esto último es el factor diferencial que le indica al lector que hay un problema de investigación señalando aquello (el objeto de estudio) que justifica llevar a cabo el proceso investigativo. Es a partir de esto que se puede formular una pregunta de investigación que, por ejemplo, podría ser: ¿la fotocatálisis es un método adecuado para la remoción de azitromicina en el río Bogotá?

Por supuesto, tanto la construcción de este problema como de esta pregunta de investigación requieren afinarse dependiendo de los saberes e intereses de quien investiga. Aquí el planteamiento del problema requeriría que el investigador explique claramente por qué la azitromicina es un potenciador de la resistencia a los antibióticos, por qué su presencia en el agua es un problema de salud pública y en qué se basa para decir que los métodos no convencionales para degradar este compuesto requieren ser más estudiados (haciendo énfasis en el papel de la fotocatálisis, si fuere este el método concreto de su interés). Además, tendría que justificar claramente que hay un problema de investigación, para lo cual es necesario sustentar que efectivamente existe algo que amerita ser investigado y las razones de ello.

Con todo, lo que aquí se demuestra es que una situación problemática no es por sí misma un problema de investigación, pero el planteamiento de este último muchas veces sí implica dar cuenta de una situación problemática con base en la cual se afirma la necesidad de llevar a cabo una investigación. Tener en cuenta esta distinción es fundamental para plantear el problema que se quiere resolver y justificarlo. Esto, a su vez, es esencial para formular la pregunta; esta debe corresponderse con un problema de investigación claro y pertinente, pues solo así podrá plantearse como un interrogante a partir del cual es procedente llevar a cabo una investigación. Así, tanto la delimitación del tema como el planteamiento del problema constituyen una condición necesaria para formular la pregunta de investigación, asunto que se abordará concretamente a continuación.

Hasta ahora hemos establecido que para formular la pregunta de investigación es necesario identificar el tema y plantear el problema de investigación. Esto no quiere decir, por supuesto, que ambos elementos (el tema y el problema) deban estar en su versión final y sean inmodificables en etapas posteriores de la investigación, pues razonablemente puede ocurrir que su construcción tenga cambios a partir de lo que el desarrollo mismo de la investigación implique. Sumado a lo anterior, al formular la pregunta de investigación es necesario tener presente que esta debe ser precisa para que cumpla su rol y se pueda articular apropiadamente con cada una de las etapas del proceso investigativo.  Formularla de este modo implica un trabajo ordenado, reflexivo y de evaluación constante.

Teniendo presente todo esto, a continuación encontrará tres pasos que le pueden ayudar a formular la pregunta de investigación.

1.     Defina su tema de investigación y plantee su problema

De acuerdo con lo que vimos anteriormente, el problema se plantea en relación con un asunto o tópico concreto, que es el tema. Vimos también que el problema indica el deseo de indagar algo que en muchos casos supone una solución a una problemática, pero que se distingue de la situación problemática en sí. A través de él usted puede establecer qué busca solucionar o responder con su investigación (por ejemplo, si quiere encontrar un diseño para optimizar un proceso, artefacto u organización; o también si quiere identificar una alternativa pertinente para atender algún asunto; o el enfoque más apropiado para abordar algo en particular; o, quizás, si busca plantear una estrategia para lograr un propósito en específico). Esto permite comprender qué es lo que usted en esencia busca resolver para poder volverlo un cuestionamiento.

Retomemos el ejemplo transversal sobre la agricultura sostenible:

• • • Problema de investigación:

      Los cultivos de palma han propiciado la deforestación en el departamento del Cesar, Colombia. Hoy en día existen prácticas agrícolas sostenibles que buscan reducir la deforestación. Dentro de ellas se encuentran la implementación de cultivos intercalados, la labranza cero y la nivelación con láser en la tierra, las cuales han demostrado mejorar la productividad de distintos tipos de cultivos. Sin embargo, los efectos de la aplicación de dichas prácticas en las plantaciones de palma de aceite es un campo inexplorado y, por tanto, tampoco es conocido cómo ellas afectan la calidad del suelo para favorecer o no la productividad de estos cultivos. Es por esto que surge la necesidad de indagar qué parámetros de la calidad del suelo tienen una incidencia en la producción de palma cuando se aplican técnicas de agricultura sostenible, como la labranza cero y los cultivos intercalados, particularmente en el departamento del Cesar en Colombia.*  

En este fragmento se infiere que se busca indagar sobre un asunto general: la productividad de las prácticas de agricultura sostenible aplicadas en los cultivos de palma. Al final esto busca propender por la disminución de la deforestación ocasionada por estos cuando son de carácter convencional. Concretamente, el investigador quiere encontrar específicamente qué parámetros de la calidad del suelo tienen una incidencia en la productividad de los cultivos de palma sostenibles; de ahí su problema de investigación. Esto atiende a un propósito que es factible de resolver en el marco de una investigación y es a partir de ello que resulta posible y pertinente formular la pregunta de investigación.

2.     Elija un pronombre interrogativo para comenzar a formular su pregunta

Cuando usted identifica lo que quiere encontrar (al plantear su problema de investigación) es útil que comience a formular su pregunta seleccionando un pronombre interrogativo que se adecúe a lo que quiere hallar. Para profundizar sus conocimientos sobre interrogativos puede consultar el numeral 4 del recurso Clases de palabras que componen el español (parte II). Por lo pronto, en la siguiente tabla encontrará pronombres interrogativos (a la izquierda) asociados con ejemplos que muestran palabras complementarias (a la derecha) que podrían servirle para comenzar a formular su pregunta de investigación.

Observe cómo se aplica esto al ejemplo que hemos abordado a lo largo de este recurso. El problema expresa lo siguiente:

[…] la aplicación de dichas prácticas [las técnicas agrícola sostenibles] en las plantaciones de palma de aceite no se ha explorado y tampoco es conocido cómo ellas afectan la calidad del suelo para favorecer o no la productividad de los cultivos. Es por esto que surge la necesidad de indagar qué parámetros de la calidad del suelo tienen una incidencia en la producción de palma cuando se aplican técnicas de agricultura sostenible, como la labranza cero y los cultivos intercalados, particularmente en el departamento del Cesar en Colombia.

Quien investiga manifiesta en este planteamiento del problema que existe la necesidad de conocer los parámetros de la calidad del suelo que afectan la producción de palma cuando se aplican las técnicas de agricultura sostenible. Entonces, ¿qué desea hacer el investigador?: conocer los parámetros de la calidad del suelo. ¿Y cuáles parámetros?: aquellos que tienen una incidencia en la productividad de los cultivos de palma. Por lo anterior, el pronombre interrogativo que más se ajusta a la pregunta es “cuáles”.

Tenga en cuenta, por último, que la pregunta de investigación no tiene siempre que, por fuerza, iniciar con un pronombre interrogativo, aunque esto sea altamente recomendable a fin de que su formulación sea clara (antes hemos visto un de preguntas que no los usa: aquella sobre la fotocatálisis). Lo fundamental es que a través de esta pregunta usted dé cuenta de forma precisa de qué es lo que busca hallar y responder con su investigación.

3.     Ahora sí, escriba la pregunta

Una vez tenga claro qué es lo que quiere encontrar y haya elegido su pronombre interrogativo, proceda a formular una pregunta que cumpla con las características FINER expuestas anteriormente (Factibilidad, Interés, Novedad, Ética, Relevancia). Siéntase libre de plantear varias preguntas; incluso, puede ensayar utilizar distintos interrogativos para que evalúe cuál de ellos expresa mejor lo que usted quiere resolver. Este puede ser un ejercicio iterativo, que incluso puede ir evolucionando a lo largo de su estudio, pues es posible que en algún punto de su investigación la pregunta cambie en algún aspecto conforme a los hallazgos que vaya teniendo. No tema hacer varias versiones de su pregunta para contrastarlas y elegir aquella que exprese con mayor claridad lo que busca encontrar. Formularlas es un ejercicio valioso que probablemente no solo le ayude a expresar mejor lo que quiere decir, sino, de hecho, a aclararse a sí mismo/a qué es lo que está buscando resolver con su investigación. Por otro lado, como se indicó anteriormente, si tiene más de una pregunta de investigación, asegúrese de identificar cuál es su pregunta principal y cuál es la secuencia lógica entre ellas.

A partir de este proceso fue como surgió nuestra pregunta modelo: ¿Cuáles son los parámetros de la calidad del suelo que tienen una incidencia en la productividad de los cultivos de palma que utilizan la labranza cero y los cultivos intercalados como técnicas de agricultura sostenible en el departamento del Cesar en Colombia?

Precauciones

• Evite preguntas que se respondan con «sí» o «no».

La respuesta de la pregunta de investigación debe ser abierta y compleja, pues justamente ello es lo que da lugar a que sea necesario llevar a cabo una investigación. Sumado a ello, la pregunta debe dar lugar a la discusión, pues finalmente el propósito de publicar los resultados de una investigación es fomentar la conversación para construir conocimiento. Una pregunta que se responda con “sí” o “no” no cumple con estas características y no da lugar al diseño de una metodología, por lo cual investigarla resulta improcedente. Analicemos, por ejemplo, la siguiente pregunta: ¿son eficientes las prácticas agrícolas sostenibles aplicadas en los cultivos de palma en el departamento del Cesar, en Colombia? Note que, además de que se trata de una pregunta imprecisa (¿a qué eficiencia se refiere?, ¿productiva?, ¿económica?) es posible que se responda fácilmente con un sí o con un no valorando  indicadores económicos cuantitativos (si fuera esta la perspectiva desde la cual se quisiera evaluar el asunto). La pregunta no da lugar a que se haga un diseño metodológico; en últimas no supone la necesidad de llevar a cabo una investigación.

• Si va a formular preguntas que cuestionen el estado de cosas futuras, hágalo con cautela.

En algunas ocasiones las preguntas pueden tener un sentido prospectivo, es decir, pueden plantear cuestionamientos sobre, por ejemplo, posibles consecuencias futuras de mantener un determinado estado actual de cosas. El desarrollo de modelos predictivos en muchos ámbitos del conocimiento opera de esta manera. La pregunta “¿cuál es el cambio de temperatura esperado en la tierra para el año 2050 en escenarios de aumento y disminución de concentración de gases de efecto invernadero, bajo los lineamientos del modelo X?”, por ejemplo, indica que se requiere del modelo X para evaluar distintos escenarios de concentración de gases de efecto invernadero que conducirán a un cambio en la temperatura de la tierra. Hacer esta predicción puede resultar muy útil para que tomadores de decisiones involucrados directamente con este asunto establezcan las acciones necesarias ante cualquier escenario.

Sin embargo, se debe tener cautela al plantear estas preguntas, dado que pueden dar lugar a investigaciones interminables o improcedentes que quizás aspiren a ser premonitorias y no se puedan resolver. Por ejemplo, responder a la pregunta “¿es posible que la inteligencia artificial reemplace el trabajo de los profesionales de finanzas?” resulta improcedente, pues no es posible determinar con certeza si esto va a suceder o no. En lugar de ello, se puede formular una pregunta como esta: ¿qué tipo de influencia ha tenido la inteligencia artificial en la labor que desempeñan los profesionales de finanzas? Aquí se puede comenzar a hacer un estudio enfocado en el uso de la inteligencia artificial en el día a día de los profesionales de esta disciplina para responder al interrogante.

• Evite preguntas con temas demasiado amplios o generales.

Como hemos visto en varias partes de este recurso, las preguntas con temas demasiado amplios o generales usualmente no se pueden resolver, generan ambigüedad o toman más tiempo del que se dispone para ser atendidas. Por ejemplo, la pregunta “¿por qué los millenials tienen cada vez más problemas para conciliar el sueño?” carece de delimitaciones espaciales, temporales y conceptuales que la hagan factible de responder; tampoco es posible desarrollar con base en ella un diseño metodológico claro y efectivo para responderla. Otro ejemplo de una pregunta de este tipo es: “¿qué efectos negativos produce el cambio climático en las aves?” Aquí, por ejemplo, el hecho de que no haya claridad en la especie de aves a estudiar genera la imposibilidad de responder cabalmente a la pregunta planteada a través de una investigación; se afecta la factibilidad de su resolución.

• Al formular varias preguntas de investigación, analice la congruencia y la jerarquía entre estas. 

En algunos ámbitos del conocimiento la formulación de la pregunta de investigación implica en realidad plantear una pregunta principal y unas cuantas preguntas más asociadas a ella. La pregunta principal es la que orienta el estudio, es decir, aquella con base en la cual se diseña la metodología. Las preguntas asociadas deben estar directamente relacionadas con la pregunta principal y tienen como objetivo señalar dimensiones específicas de esta. Al formularlas, es necesario cuestionarse si estas preguntas añadidas realmente complementan la pregunta principal o si, por el contrario, se apartan de ella.  

Un ejemplo de varias preguntas que se complementan puede ser el siguiente:

Pregunta principal: “¿cuáles son las características socioculturales de las mujeres latinoamericanas que están en una posición de alta gerencia en compañías multinacionales?”. Este interrogante pretende conocer qué caracteriza a una mujer latina en un cargo de alta gerencia con la intención de hacer correlaciones con el entorno y la cultura.

Como preguntas complementarias se puede formular: “¿cuáles son las prácticas que han utilizado estas mujeres para llevar al éxito a las compañías en Latinoamérica?” y “¿cuáles son los factores que motivan a las mujeres a alcanzar posiciones gerenciales en compañías multinacionales?” Dichas preguntas empiezan a facilitar la comprensión colectiva del éxito de estas mujeres en relación con sus características socioculturales.

En contraste, preguntar, por ejemplo, “¿por qué han fracasado algunas mujeres en los cargos gerenciales en compañías multinacionales?” es un interrogante que, aunque puede suponer una inquietud susceptible de ser delimitada y sugestiva de investigar, evidentemente se desvía del propósito del estudio.

En síntesis:

Como hemos visto en esta sección, para escribir la pregunta de investigación es ineludible definir el tema a investigar y establecer qué se quiere encontrar a través de la construcción del problema de investigación. Esto, a su vez, permite reconocer cuál es el pronombre interrogativo que mejor se ajusta a la pregunta y, en últimas, contribuye a redactarla para esclarecerse a sí mismo/a y a los otros qué es lo que busca responder la investigación. También, al momento de escribir esta pregunta, hay que tener en cuenta las precauciones establecidas para evitar ambigüedades o acabar formulando un interrogante que no posibilite realmente diseñar una investigación.

Una vez finalizado su ejercicio de redacción es pertinente que someta su pregunta a una evaluación con el propósito de garantizar que cumpla con sus características esenciales. Usted puede valorar diversos aspectos fundamentales de su pregunta de investigación utilizando las preguntas propuestas en el siguiente cuadro, las cuales atienden a criterios fundamentales para la elaboración de la pregunta.

Como usted habrá notado, estas preguntas inquieren por aspectos concretos de la formulación de la pregunta de investigación y atributos específicos de esta tales como su factibilidad, su interés, su novedad, su ética y su relevancia. En caso de que su respuesta a alguna de estas preguntas sea “no”, deberá reconsiderar el planteamiento de su pregunta analizando, con base en la información proporcionada en este recurso, qué podría hacer para cumplir con lo que supone cada uno de estos interrogantes (exceptuando el caso de la segunda pregunta, considerando que no necesariamente siempre aplica que haya un pronombre interrogativo para formularla).

La pregunta de investigación es un enunciado de carácter interrogativo que expone lo que se quiere investigar. Debe ser factible, interesante, novedosa, ética y relevante, así como precisa y directa. Su función es orientar la investigación y para ello debe articularse apropiadamente al proceso investigativo. Por esto, para poder construirla primero es necesario identificar el tema y plantear el problema de investigación. Esto le permitirá a quien investiga establecer qué es lo que quiere investigar y comenzar la formulación de la pregunta para enunciar lo que se quiere encontrar. Cuando la pregunta cumple con las características previamente enunciadas, sirve para plantear hipótesis, formular los objetivos de la investigación y establecer una metodología para cumplirlos, lo que demuestra su carácter fundamental para el desarrollo del proceso investigativo.

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Nota

Este recurso pedagógico le pertenece a la Universidad de los Andes y está protegido por derechos de autor. Así mismo, el recurso se encuentra amparado bajo la licencia de Atribución – No comercial – Sin derivar de Creative Commons.

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Escritura de elementos formales matemáticos en textos de Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas (CTIM)

Recurso elaborado por Christian Dávid Reinach-Baumgartner

En el presente recurso se explica cómo se integran en la escritura distintos elementos formales matemáticos (expresiones, ecuaciones, fórmulas, cálculos, soluciones a problemas y demostraciones) en textos del ámbito de CTIM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas.) En principio, se describe qué es la escritura formal en dicho ámbito y por qué es importante. Posteriormente, se aclara cómo escribir dichos elementos. Finalmente, se provee una serie de recomendaciones y una lista de chequeo que le permitirá verificar si usted utilizó adecuadamente tales elementos sus escritos. 

Tabla de contenido

• 1. La escritura formal en CTIM
  • 1.1 ¿Qué es la escritura formal en CTIM?
  • 1.2 ¿Por qué es importante la escritura formal en CTIM?
• 2. Escritura de expresiones, ecuaciones y fórmulas
• 3. Escritura de cálculos, soluciones a problemas y demostraciones 
  • 3.1 Cálculos y soluciones a problemas
  • 3.2 Demostraciones
• 4. Recomendaciones generales de escritura
• 5. Lista de chequeo 

1. La escritura formal en CTIM

1.1 ¿Qué es la escritura formal en CTIM?

Aunque no existe una respuesta fija y universal, puede decirse simplemente que la escritura formal en el ámbito de CTIM es aquella escritura donde los elementos formales matemáticos son utilizados como medios primarios para la expresión, la argumentación o la resolución de problemas (Bertsekas, 2002, p. 3). Esta escritura se usa en muchísimas áreas, pues se encuentra en todos aquellos libros, artículos o textos de divulgación donde se analizan modelos matemáticos usados en ingeniería, física, química, biología, economía, psicología e, incluso, sociología, por enlistar algunos ejemplos.

Con lo anterior, es menester aclarar que la escritura formal se relaciona con aquellos lenguajes que utilizan un alfabeto compuesto por símbolos abstractos y una sintaxis formalmente especificada. Estos lenguajes se denominan lenguajes formales y son distintos al lenguaje natural, pues este último se entiende como aquel que usamos para comunicarnos de forma cotidiana y que suele desarrollarse de forma «natural», es decir, de una forma en cierto modo espontánea (bajo estos términos, el español, por ejemplo, se considera un lenguaje natural). La escritura formal incorpora lenguajes abstractos, a los cuales pertenecen elementos como las expresiones formales, las ecuaciones, las fórmulas, las soluciones a problemas y las demostraciones.

1.2 ¿Por qué es importante la escritura formal en CTIM?

Pueden darse dos sencillas respuestas a esta pregunta. En primer lugar, la adecuada escritura formal, realizada a través de la integración de los elementos formales, requiere una organización de las ideas que se quieren transmitir con estos. En ese sentido, la escritura formal contribuye al procesamiento mismo en el pensamiento tanto de, por ejemplo, aquellas relaciones abstractas que se condensan en las fórmulas o sus desarrollos como de aquellas que se expresan en las demostraciones. De hecho, la escritura formal exige a los autores autoevaluar su conocimiento sobre el tema a desarrollar. Solo cuando se tiene una comprensión real de los conceptos o ideas es que se los puede comunicar con claridad y sencillez. En suma: la escritura formal permite tanto el desarrollo del pensamiento como su expresión.

En segundo lugar, la escritura formal otorga fiabilidad al texto que se está escribiendo. Cuando un texto describe, explicita y relaciona de manera adecuada fórmulas, afirmaciones abstractas o cálculos necesarios para analizar resultados o inferirlos, los lectores pueden evaluar críticamente los razonamientos y marcos teóricos utilizados, de manera que el escrito sea siempre transparente y contribuya efectivamente a la construcción de nuevo conocimiento. Al no utilizar adecuadamente la escritura formal, el texto puede no solo perder su fiabilidad, sino su alcance y relevancia. Ante la poca claridad del escrito, la audiencia probablemente no lo citaría ni lo compartiría.

Así, este recurso le proporcionará indicaciones útiles para saber cómo integrar distintos elementos formales en la escritura, lo cual puede ayudarle a desarrollar adecuadamente una escritura formal, con los beneficios que esto supone y que se han enunciado previamente.

2. Escritura de expresiones, ecuaciones y fórmulas

Para desarrollar una adecuada escritura formal en el ámbito de CTIM una necesidad primordial es integrar apropiadamente en los textos expresiones formales, ecuaciones, fórmulas y fórmulas lógicas. Esta sección está dedicada, precisamente, a explicar cómo se puede lograr lo anterior. Por ello, explica en qué consisten todos estos elementos y cuáles son las consideraciones más importantes para incorporarlos en la escritura.

Para comenzar: ¿Sabe usted la diferencia entre \(\color{#2359c4}{2x^2+x=4x^3-1\;\;}\) y \(\color{#2359c4}{\;\;2x^2}\)? A primera vista se podría pensar que son lo mismo, pero la realidad es que entre estos dos elementos existe una sutil diferencia. Para identificar cuál es, considere la siguiente información. 

Expresiones formales:

Una expresión formal es una concatenación de símbolos que describe objetos abstractos o una operación válida entre varios de ellos. Son ejemplos de expresiones formales los siguientes: \(\{1,2,3,4\}\) o \(2x+x^2+x^3\); aquí, justamente, se describen objetos abstractos y, como en el segundo caso, se expresan operaciones entre ellos. En ese orden de ideas, un elemento como \(\{°\}\) no es una expresión formal, como tampoco lo es la concatenación \(2x+<\). Esto se debe a que, por un lado, \(\{°\}\) establece un conjunto compuesto por °, el cual no refiere a algún objeto abstracto conocido y, por tanto, no constituye un miembro de un conjunto per se. Por otro lado, \(2x+<\) establece una suma entre \(2x\) y \(<\), pero este último no es un elemento del mismo tipo que \(2x\), sino que es un símbolo que da cuenta de una relación de orden. En palabras, esta expresión dice “\(2x\) sumado a menor que”, lo cual no tiene ningún sentido matemático. Así, aquí tampoco hay una expresión formal, pues no se prepone una operación válida entre los elementos.

Ecuaciones:

Considere ahora a las ecuaciones. Estas refieren al uso de símbolos para presentar una relación entre dos expresiones formales. Un ejemplo de ello es \(2x+x^2+x^3=\left(x-3\right)^2\), donde \(=\) es el símbolo que representa una relación de igualdad entre las dos expresiones dadas. Tenga en cuenta que no todas las relaciones que se expresan son de igualdad: algunas son de orden, como cuando escribimos \(x^2+x+3x^3\le4x^5\). 

Con base en esto, ya es posible responder a la pregunta con la que inicia esta sección: ¿cuál es la diferencia entre \(\color{#2359c4}{2x^2+x=4x^3-1\;\;}\) y \(\color{#2359c4}{\;\;2x^2}\)? Como usted habrá concluido, la primera es una ecuación matemática; la segunda es solamente una expresión formal. Aclarado esto, aún resta considerar dos elementos: las fórmulas y las fórmulas lógicas, que son usuales dentro de la escritura en CTIM y cuyas características se exponen a continuación

Fórmulas:

En algunas áreas como la física o la ingeniería existen ciertas ecuaciones que establecen una relación que siempre se cumple entre varios objetos abstractos bien definidos. Estas son muy utilizadas en la realización de cálculos y son denominadas fórmulas. Un ejemplo de ello es la fórmula que expresa la Segunda Ley de Newton en mecánica clásica:
$$F=\frac{dp}{dt},$$
donde \(F\) es la fuerza ejercida a un objeto y \(\frac{d{p}}{{dt}}\) es el cambio en el momentum del mismo objeto por unidad de tiempo.

Es importante notar que, en este sentido, todas las fórmulas son ecuaciones, pero no todas las ecuaciones son fórmulas. Por ejemplo, la fórmula de la fuerza nos puede llevar a la ecuación
$$F=300N,$$
la cual no es una fórmula, pues es falso que en cualquier situación \(F\) tenga ese valor específico (si así lo fuese, sería una constante). Así, en general, la diferencia entre una ecuación y una fórmula -que es un tipo de ecuación con características particulares- es que la primera determina una relación entre objetos de cualquier tipo, mientras que la segunda establece una relación que siempre se cumple entre objetos concretos, fijos y generales. 

Fórmulas lógicas:

El término fórmula puede asociarse a un concepto más formal (en Matemáticas o en Ciencias de la Computación), el cual podríamos denominar como fórmula lógica. Este concepto refiere a la concatenación de variables enunciativas y operadores o cuantificadores lógicos; tal concatenación ha de cumplir con las reglas gramaticales de, por ejemplo, la lógica proposicional. Ejemplo de ello es la fórmula $$a\iff\neg b,$$ donde \(a\) y \(b\) son las variables enunciativas que representan una proposición, mientras \(\iff\) y \(\neg\) representan operaciones lógicas que construyen una proposición más compleja. 

Elementos fundamentales para la incorporación de estos elementos en la escritura:

El ejemplo de la Segunda Ley de Newton traído a colación previamente es útil para considerar la manera en la que los elementos expuestos se integran en un texto. Como se habrá podido notar, solo escribir una fórmula -o una ecuación, en general, a su vez compuesta por expresiones formales- sin ningún tipo de contexto no dice nada: no comunica ideas comprensibles. Para que esto suceda, estos elementos deben introducirse a partir de un contexto que usualmente emerge desde el lenguaje natural. Además, deben acompañarse de componentes específicos que cumplen diversas funciones. Observe el siguiente ejemplo y analice cuáles son los aspectos y componentes necesarios para integrar las ecuaciones en un texto:

Ejemplo 2.A. Segunda Ley de Newton. Consideremos el enunciado de la Segunda Ley de Newton: “El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime” (Newton, p. 41). Así, podemos expresar la ley matemáticamente como
$$\color{blue}{F=\frac{{dp}}{{dt}}}\color{red},$$
donde \(dp/dt\) hace referencia al cambio del momentum en el tiempo. Si tenemos en cuenta que el momentum está dado por \(\color{blue}{p={m}\cdot{v(t)}}\), donde \({m}\) es la masa de este y \({v}\) su velocidad en función del tiempo, podemos reescribir la anterior fórmula como 

$$\color{blue}{F=\frac{d(m\cdot v(t))}{dt}}\color{red}.$$
Además, si asumimos que es constante la masa del cuerpo sobre el que se imprime la fuerza a considerar, puede establecerse que
$$\color{blue}{F=\frac{{m}\cdot{dv}}{{dt}}}\color{red}.$$
Finalmente, si tenemos que la aceleración se entiende como el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, la ecuación de la fuerza se reescribe como
$$\color{blue}{F={m}\cdot{a}}\color{red},$$
donde \({a}\) representa a aquella aceleración

En el ejemplo anterior vemos algunos componentes en distintos colores. Primero, en color azul claro, se encuentra la explicación de la relación que manifiesta la ecuación; esta es necesaria para entender de antemano qué es lo que la ecuación expresa. Posteriormente, en color rojo oscuro, se hace referencia a aquellos enunciados que introducen la ecuación a exponer; estos sirven para insertarla de un modo coherente. En color azul oscuro se señala la ecuación en sí. Observe que tanto las frases que introducen las ecuaciones como estas en sí mismas deben formar una oración completa; de ese modo, resultan comprensibles las ideas que se están comunicando. Además, en color rojo claro está la puntuación relativa a la ecuación; esta también es necesaria para ordenar las ideas. Fíjese en cómo, por ejemplo, los puntos ayudan a remarcar el cierre de las oraciones completas. Finalmente, en color verde se encuentra la explicación de la notación involucrada en la ecuación. Como se ve, todos estos elementos (la explicación de la relación de la ecuación, los enunciados que la introducen, las ecuaciones en sí mismas, la puntuación y las explicaciones sobre la notación utilizada) son necesarios para desarrollar lógicamente el razonamiento que se quiere expresar y para que este sea comprendido por parte del lector. 

Ahora, analice brevemente otros ejemplos -más complejos- del Análisis Funcional. Procure determinar qué función cumplen los componentes señalados con colores y por qué son importantes.

Ejemplo 2.B. Sean \(X\) un espacio normado y \(\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \(X\), la cual converge débilmente a \(x_0\). Supongamos que \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) está contenida en \(V\), donde este último es un subconjunto cerrado y convexo de \(X\). Entonces, tenemos que \(\left(x_n\right)\) converge débilmente a \(x_0\) en \(V\). Además, existe una sucesión
$$\left(\sum_{k=1}^{n}\lambda_k^{\left(n\right)}x_k\right)_{n\in\mathbb{ N}}$$
de combinaciones lineales de los elementos de \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\), tal que converge a \(x_0\).

Ejemplo 2.C. Sean \(\left[a,b\right]\) un intervalo cerrado en \(\mathbb{R}\) y \(n\) un número natural. Adicionalmente, tomemos \(a\le t_1^{(n)}<\cdots<t_n^{(n)}\le b\) y \(\alpha_k^{\left(n\right)}\) en \(\mathbb{K}\), donde \(k=1,\ldots,\ n\). Así, se define
$$Q_n\left(f\right)=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k^{\left(n\right)}f\left(t_k^{\left(n\right)}\right) ,$$
donde \(f\) es una función en el espacio de funciones continuas sobre \([a,b]\).

Como se ve, en color púrpura se encuentran aquellas expresiones que, aunque representables en símbolos, se escriben en lenguaje natural. Esto se debe a la necesidad de evitar abusos de notación y mantener un equilibrio con el lenguaje natural que posibilite una comprensión más clara de lo que se quiere decir. Por otro lado, en color verde claro se encuentran los conectores discursivos que dan coherencia y cohesión a las ideas. Fíjese en que tanto el ejemplo 2.B como el ejemplo 2.C tienen conectores con distintas funciones: algunos son de adición (suman información); otros expresan una consecuencia lógica.

Tenga en cuenta:

Para insertar estos elementos en la escritura formal se requiere utilizar diversos componentes como los que se han explicitado hasta ahora: explicaciones de las relaciones manifiestas en una ecuación, enunciados para introducirla, uso de la puntuación, aclaraciones sobre la notación y conectores. Es importante, además, remarcar que, al escribir una expresión, una ecuación, una fórmula o una fórmula lógica, siempre puede usarse el lenguaje natural, por lo que no es adecuado hacer uso excesivo de la notación formal e intentar sustituir todas las palabras por símbolos o añadir símbolos irrelevantes. El famoso matemático Paul Halmos (1973) sentenciaba que “la mejor notación es la que no hay; siempre que sea posible evitar el uso de una complicada simbología, hazlo” (p. 40). En resumen, la sencillez es mandatoria; sea cual sea la audiencia, ¡queremos que nos entiendan!

Para ilustrar lo anterior, fíjese en lo que ocurre con el símbolo \(\in\), que significa “pertenece a”, como en la afirmación “Si \(a\in A\), entonces \(a\in B\)”. No hay necesidad de escribir \(\in\) en la oración; en cambio, basta con decir “Si \(a\) pertenece a \(A\), entonces \(a\) pertenece a \(B\)”. Exactamente lo mismo pasa con los símbolos como \(\cap\), \(\cup\), \(\subset\), entre otros. Esto no desconoce, por supuesto, que en algunas situaciones puede hacerse necesario utilizar la simbología.

Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.D. Definición de función real continua. Una función real \(f\) sobre un conjunto \(D\) se dice continua en \(x_0\in D\) si y solo si, para \(\varepsilon\) mayor a cero, existe \(\delta\) mayor a cero tal que \(\left|x-x_0\right|<\delta\) implique \(\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon\), donde \(x\) es cualquier elemento de \(D\).

En este ejemplo, se hace necesario añadir simbología que haga posible la escritura de las desigualdades. Es cierto que la anterior podría describirse meramente con palabras: “Una función real se dice continua sobre un elemento de su dominio si, y solo si, la imagen de una vecindad pequeña del elemento es igualmente pequeña”. Sin embargo, esto puede dar paso a interpretaciones subjetivas que podrían conducir a deducciones erróneas. Por ello es que, en los casos como este, donde el uso exclusivo de lenguaje natural da lugar a ambigüedades, se hace necesario el uso de una notación accesible y consistente.

Finalmente, tenga en cuenta que, salvo ciertas situaciones, las ecuaciones (incluidas en ellas, las fórmulas y las fórmulas lógicas) acostumbran a ir en una línea aparte del texto; con esto se evita que el texto esté compilado inadecuadamente y que haya ofuscamiento visual. Particularmente, se ponen en línea aparte cuando el contenido y los símbolos involucrados son grandes como en el caso del símbolo de sumatoria, el de integración o las fracciones (véanse los ejemplos 2.B y 2.C). En el caso de las fórmulas lógicas, estas siempre se ponen aparte. Las expresiones, por el contrario, suelen ir en línea con el texto, a excepción de aquellas que, de nuevo, contengan símbolos que excedan el tamaño estándar de la línea y el interlineado. Adicionalmente, aun cuando una expresión o una ecuación no tengan símbolos grandes, estas pueden colocarse en una línea aparte con la intención de darles importancia dentro del texto.

En resumen:

Considerar esta información puede serle muy útil para incorporar adecuadamente estos elementos de la escritura formal y, con ello, comprender sus propias ideas y comunicárselas claramente a sus lectores.

3. Cálculos, soluciones a problemas y demostraciones

Anteriormente, hemos visto cómo se pueden incorporar adecuadamente en la escritura expresiones formales, ecuaciones, fórmulas y fórmulas lógicas. Ahora, es preciso considerar los aspectos relevantes asociados con la escritura de cálculos, soluciones a problemas y demostraciones. Para empezar, es necesario tener en cuenta que las soluciones y las demostraciones están compuestas por ecuaciones (y, por tanto, por expresiones formales). En particular, esta transitividad se debe a que las soluciones y las demostraciones comparten un punto en común: formulan una sucesión de expresiones, símbolos y ecuaciones que se articulan lógicamente con el objetivo de verificar, obtener o argumentar.

En lo que concierne a su escritura, conviene anotar las palabras del matemático Kevin Lee (s.f.), quien afirma:

Una lista de cálculos sin ningún contexto ni explicación demuestra que has pasado algún tiempo haciendo cálculos; una lista de cálculos sin ninguna explicación omite las ideas. Las ideas son las matemáticas. Por lo tanto, una página de cálculos sin ninguna escritura o explicación no contiene matemáticas. (p. 2)

Estas ideas sirven para señalar que, para presentar soluciones y demostraciones (en últimas, ideas matemáticas), los cálculos por sí solos no bastan: deben integrarse a la escritura explicando, a través de ella, las ideas que se busca expresar. Veamos la manera en que tal articulación y explicación se deben dar, por un lado, en soluciones a problemas; por el otro, en demostraciones matemáticas.

3.1 Cálculos y soluciones a problemas

Hay gran diferencia entre el calcular y presentar la solución a un problema. Hacer (calcular) no viene a ser lo mismo que escribir. Por un lado, hacer refiere al hecho de pensar y desarrollar informalmente aquellas ideas que se derivan de la actividad en un área de las CTIM. Cuando usted está intentando solucionar un problema o realizar un ejercicio (es decir, haciendo), puede omitir las reglas de escritura formal. Sin embargo, escribir es precisamente el acto de plasmar formalmente esas ideas. Así, en el hacer no existe un requerimiento explícito de orden, mientras que este es necesario en el escribir para que otra persona pueda leer y entender.

Tomemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.1.A. Cálculo para un ejercicio.
El ejercicio pregunta: ¿tiene la función \(f\left(x\right)=\frac{x^2-x^3}{x^2+1}\) asíntota oblicua?
La solución fue escrita por un estudiante de la siguiente forma:

$$\begin{align}
a & \rightarrow \lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=\frac{x^2-x^3}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{x-x^2}{x^2+1}=-1\\
b &  \rightarrow\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f\left(x\right)}-ax=\frac{x^2-x^3}{x^2+1}+x=1 \\
& \rightarrow y=1-x
\end{align}$$

¿Entendería usted por qué el estudiante hizo esos cálculos, qué significa cada ecuación o cuál es la respuesta a la pregunta del ejercicio? En general, un lector no podría extraer mucha información de estos cálculos; lo escrito es sumamente ambiguo. Por lo tanto, no se podría decir que esto sea la solución al ejercicio o problema, pues, para que lo sea, es necesario usar los cálculos para plantear y presentar una respuesta explícita y eficaz. Aquí, el estudiante solo calcula, pero no presenta ni soluciona.

Lo primero que puede notarse en este ejemplo es que hay dificultades con la notación. Por un lado, quien escribe no explica qué son \(a\), \( b\) y \(y\); por el otro, hace uso inadecuado del símbolo \(\rightarrow\), el cual significa “entonces”. Tampoco usa consistentemente el símbolo \(\lim\), pues no lo coloca aun cuando sigue calculando un límite.

Lo segundo que puede notarse es que el estudiante, como ya se dijo, no desarrolla con precisión cada uno de los pasos algebraicos que realiza para calcular los límites presentados. En particular, no es claro cómo llega al resultado de cada límite, no expone por qué puede hacer el límite indiscriminadamente para \(+\infty\) o \(-\infty\) ni explicita cómo llega a establecer que \(y=1-x\).

Dicho lo anterior, analice el ejemplo dispuesto a continuación; procure contrastar el ejemplo anterior y el modo en el que aquí se presentan los cálculos: ¿cuáles son las diferencias? Evalúe si, en últimas, esta presentación es más clara y si, en efecto, se provee una solución; de ser así, intente establecer las razones por las que esto ocurre.

Ejemplo 3.1.B. Presentación de solución a un ejercicios.
¿Tiene la función \(f\left(x\right)=\frac{x^2-x^3}{x^2+1}\) asíntota oblicua?
Solución:
Para revisar si \(f\left(x\right)\) tiene asíntota oblicua, descrita por la ecuación de recta \(y=ax+b\), se debe cumplir que
$$\color{#339966}{lim_{x\rightarrow+\infty}{[f\left(x\right)-y}]=0}$$
y
$$\color{#339966}{\lim_{x→-∞}[fx-y]=0.}$$
Para encontrar los coeficientes de la ecuación de la recta, utilizamos las fórmulas
$$\color{#339966}{a=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}}$$
y
$$\color{#339966}{b=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f\left(x\right)-ax}.}$$
Así, en primer lugar, tenemos que
$$\begin{align}
\color{#00ccff}a
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x\left(x^2+1\right)}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x-x^2}{x^2+1}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x-x^2}{x^2+1}\cdot\frac{x^2}{x^2}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\frac{1}{x}-1}{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{0-1}{1+0}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{-1.}\end{align}$$
En segundo lugar, tenemos que
$$\begin{align} \color{#00ccff}b
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{f\left(x\right)-ax}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x^2+1}-\left(-1\right)x}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x^2+1}+x\frac{x^2+1}{x^2+1}}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2+x}{x^2+1}}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{1.}
\end{align}$$
Por otro lado, como las funciones \(h\left(x\right)=1/x\) y \(g\left(x\right)=1/x^2\) tienden a cero cuando \(x\) es infinitamente pequeño, deducimos que
$$\color{#990000}{\lim_{x\rightarrow-\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}{\frac{\frac{1}{x}-1}{1+\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\frac{1}{x}-1}{1+\frac{1}{x^2}}}=-1=a.}$$
Análogamente, podemos establecer que
$$\color{#990000}{\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}}=1=b.}$$

Por ende, cuando \(x\) se hace infinitamente grande o infinitamente pequeño, la posible asíntota oblicua de \(f\left(x\right)\) es \(y=1-x\). Verifiquemos esto seguidamente:
$$\begin{align}\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\left[f\left(x\right)-y\right]}} &\color{#004F79}=\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x^2+1}-1+x}}\\
&\color{#004F79}= \color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x-1}{x^2+1}}}\\
&\color{#004F79}= \color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}.}\end{align}$$

Teniendo en cuenta la justificación dada hace algunas líneas, podemos reescribir este último límite como
$$\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}.}$$
Luego,
$$\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\left[f\left(x\right)-y\right]}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}=\frac{0}{1}=0.}$$
Lo cual comprueba que \(f\left(x\right)\) sí tiene asíntota oblicua, la cual está dada por \(y=1-x\).

Como se ve, lo que aquí se desarrolla es mucho más extenso que lo que se presenta en el ejemplo 3.1. Si bien la longitud es mayor, la escritura es mucho más precisa y no incurre en exponer cálculos irrelevantes para el nivel de complejidad del tema. En últimas, sí se presenta una solución al ejercicio mucho más clara y comprensible. Analicemos por qué ocurre todo esto.

En color púrpura se escribe el título de la sección que sucede al enunciado del ejercicio (en este caso, “Solución”). En color verde se encuentran aquellos enunciados que explicitan la teoría que se adecúa al ejercicio y se define la notación a utilizar; con ellos, se aclara la razón por la cual se hacen los cálculos presentados. Luego, en azul claro se encuentran los cálculos básicos que se deducen de la teoría base. Posteriormente, en rojo oscuro, está la explicación sobre por qué se pueden computar los límites sin discriminar entre \(+\infty\)  y \(-\infty\). En azul cobalto se hace la verificación pertinente a partir de la teoría. Finalmente, con color turquesa se plasma la conclusión que responde al ejercicio. Esta secuencia de elementos es imprescindible para que se comprenda la respuesta al ejercicio y el razonamiento subyacente al hallazgo de esta respuesta. Cada elemento, su precisión y su concatenación ordenada son fundamentales para que se pueda comprender la solución propuesta. Note también que -tal como se señaló en el caso de las ecuaciones y al estar compuestas por ellas- las soluciones deben estar acompañadas por un lenguaje natural que las dote de sentido en la escritura. 

Nota del ejemplo 3.1.B.: Observe, por último,  que la palabra posible se encuentra en color rojo. Esto se debe a que hasta ese instante los cálculos realizados no permitían establecer que la recta \(y=1-x\) es la asíntota oblicua de la función dada por el ejercicio: hacía falta verificarlo. Haber afirmado lo anterior apresuradamente habría supuesto una coherencia. Por eso, solo hasta el final, en color azul oscuro está la afirmación concluyente de que tal recta es, efectivamente, la asíntota buscada.

3.2 Demostraciones

Si las soluciones a problemas o ejercicios necesitan de una presentación ordenada, precisa y efectiva, las demostraciones matemáticas necesitan lo mismo e incluso más, pues estas se distinguen de las soluciones en tanto que tienen un objetivo muy bien delimitado, a saber: deducir la verdad de una proposición matemática.

Además de la articulación de expresiones formales y ecuaciones, las demostraciones requieren que usted precise todo elemento que se haga necesario usar durante la argumentación (y que el lector no necesariamente conozca): definiciones, otras afirmaciones ya probadas, observaciones y explicaciones conceptuales relevantes. Esto implica que las demostraciones no solo deben estar desplegadas de manera minuciosa, sino que requieren de un entorno matemático propicio para su articulación.

En relación con lo anterior, tanto las matemáticas como algunas ciencias naturales se caracterizan por insistir en el uso estricto y riguroso de definiciones que describen terminología y conceptos. Por esta razón, las definiciones deben disponerse de la manera más sucinta y comprensible posible. Estas no deben ser trabas para el lector; por el contrario, deben apoyar su comprensión (Krantz, 2016, p. 74).

Retomemos el ejemplo 2.D de la sección anterior, el cual aparece en la primera fila de la siguiente tabla. Compárelo con los siguientes ejemplos (3.2.A y 3.2.B) y analice: ¿cuáles son sus diferencias?, ¿en qué casos la definición se presenta de forma más clara y comprensible?

Como habrá notado, la definición del ejemplo 2.D no es ambigua, pero puede requerir algunas relecturas para ser entendida a cabalidad. Esto se debe a que la definición está construida en solo una oración. En cambio, el ejemplo 3.2.A está compuesto por dos oraciones (no por una como en el ejemplo 2.D) y la expresión previa a los dos puntos tiene la función de introducir la afirmación que, en efecto, define a una función real como continua. Esto puede ayudar a a esclarecer la definición. Por su parte, el ejemplo 3.2.B prioriza el uso adecuado de símbolos sobre las descripciones con lenguaje natural y asume cierto nivel del lector con respecto a la comprensión de la sintaxis de las fórmulas lógicas y la simbología que en ellas se usa. En este último ejemplo la expresión que se introduce con los dos puntos se convirtió en una fórmula lógica que afirma exactamente lo mismo. Análogamente al ejemplo 3.2.A., la fórmula no es introducida de manera abrupta, pues se utiliza la expresión “siguiente afirmación” para computarla en la línea siguiente. En este sentido, todos los ejemplos (2.D, 3.2.A y 3.2.B) ofrecen alternativas para construir la definición, si bien los dos últimos son un poco más precisos y ofrecen transiciones claras entre la información.

Ahora bien, una vez se construyen las definiciones de los objetos abstractos, se pueden deducir sus propiedades o relaciones con otros objetos a partir de demostraciones; mediante estas se exhibe que una afirmación matemática es verdadera, de ahí su nombre, pues demuestran si la afirmación es verdadera. Para construir adecuadamente una demostración, es necesario establecer antes, y de modo directo, cuál es la afirmación a la cual se refiere. Asimismo, es necesario que se enuncie y demuestre toda afirmación auxiliar (conocida como lema) a la demostración de la afirmación que se considera más relevante o general (veáse la recomendación 7 de la sección 4). 

Considere el siguiente ejemplo de una demostración extensa. ¿Puede identificar cuál es su estructura?, ¿cuál es la afirmación principal?, ¿cuáles son las afirmaciones auxiliares (lemas)?, ¿cómo se desarrolla la demostración? 

Ejemplo 3.2.C. Teorema de contracción de Banach. Sea \((X,d)\) un espacio métrico completo y sea \(f\colon X\to X\) una función para la cual existe un \(c\in(0,1)\) tal que $$d(f(x),f(y))\leq cd(x,y),$$ con \(x,y\in X\). En tal caso, existe únicamente un \(x_0\in X\) que cumple que \(f(x_0)=x_0\).

Demostración: Probamos la existencia de tal \(x_0\) y luego su unicidad.
Existencia: 
Tomemos \(x\in X\) y definamos \(x_n = f^n(x)\) para todo \(n\in\mathbb N\).
Vamos a mostrar que \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) es una sucesión de Cauchy. Para ello, observamos que
\begin{align}
d(f^{k+m}(x), f^m(x))
&\le c d(f^{k+m-1}(x), f^{m-1}(x))\\ & \hspace{0.5em}\vdots\\
&\le c^m d(f^{k}(x), x), \tag{1}\end{align} para cualesquiera \(m,k\in\mathbb N_0\). Por lo tanto, obtenemos lo siguiente:
\begin{align}
\nonumber
d(f^{k}(x), x)
& \le
d(f^{k}(x), f^{k-1}x) \\ & \hspace{1.5em}+ d(f^{k-1}(x), f^{k-2}x)+ \cdots + d(f(x), x)
\\
\nonumber
& \le
c^{k-1} d(f(x), x) \\ & \hspace{1.5em}+ \cdots + c d(f(x), x) + d(f(x), x)
\\

& = \left( \sum_{j=0}^{k-1} c^j \right) d(f(x), x)\\
& = \frac{1-c^k}{1-c} d(f(x), x)\\
&\le \frac{d(f(x), x)}{1-c}.\tag{2}
\end{align} Por \((1)\) y \((2)\), podemos afirmar que
\begin{align}
d(f^{k+m}(x), f^m(x))
&\le c^m d(f^{k}(x), x)\\
&\le c^m \frac{d(f(x), x)}{1-c} . \tag{3}
\end{align}

Ahora, consideremos \(\epsilon > 0\). Además, sabemos que \((c^n)_{n\in\mathbb N}\) es decreciente y tiende a \(0\), pues \(0< c <1\). En consecuencia, podemos fijar \(N\in\mathbb N\) tal que \(c^N < \epsilon\frac{1-c}{d(f(x), x)}\).
Si para cualesquiera \(n\ge m \ge N\) tomamos \(k=n-m\) en \((3)\), deducimos que
\begin{equation*}
d(f^n(x), f^m(x))
\le c^m \frac{d(f(x), x)}{1-c}
\le c^N \frac{d(f(x), x)}{1-c}
< \epsilon.
\end{equation*} En efecto, con esto demostramos que \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) es una sucesión de Cauchy. Como \(X\) es un espacio completo, existe \(x_0 := \lim\limits_{n\to\infty} x_n\).

Mostremos que \(f(x_0) = x_0\). Supongamos que esto no es cierto. En este caso, \(\epsilon := d(f(x_0), x_0) > 0\) y, dado que \(x_0 = \lim\limits_{n\to\infty} x_n = \lim\limits_{n\to\infty} f^n(x)\), podemos elegir un \(N\in\mathbb N\) tal que \(d(f^N(x), x_0) < \frac{\epsilon}{2}\) y \(cd(f^{N-1}(x), x_0) < \frac{\epsilon}{2}\). Así, se tienen las siguientes desigualdades:
\begin{align*}
d(x_0, f(x_0))
&\le d(x_0, f^N(x)) + d(f^N(x), f(x_0))
\\
& \le d(x_0, f^N(x)) + c d(f^{N-1}(x), x_0)
\\
&< \epsilon = d(x_0, f(x_0)).
\end{align*} Esto es una contradicción y, entonces, se concluye que \(f(x_0) = x_0\).

Unicidad:
Asumamos que existen \(x,y\in X\) tales que \(f(x) = x\) y \(f(y)=y\). Entonces,
\begin{equation*}
d(x, y) = d(f(x), f(y)) \le c d(x, y).
\end{equation*} Dado que \(0<c<1\), lo anterior es posible solo si \(d(x,y)=0\), es decir, solo si \(x=y\). Q.E.D.

Como se ve, la demostración está compuesta por varios elementos que son imprescindibles para que su construcción sea adecuada. Analicémoslos uno a uno:

• En color azul claro se encuentra, de forma explícita y directa, la afirmación que se va a demostrar a continuación. Establecer esta afirmación es, como se dijo antes, una condición necesaria para el desarrollo de la demostración. Con ella, queda claro desde el inicio qué es lo que se quiere demostrar.
• Posteriormente, en color azul cobalto se encuentra la expresión «demostración», la cual indica la transición desde el enunciado establecido previamente hacia la prueba del mismo. Además, con el mismo color se encuentra un breve comentario acerca del procedimiento que sigue esa prueba. Este comentario ayuda a preservar la coherencia de la demostración, pues da cuenta del orden en que esta se desarrolla. 
• En color rojo oscuro se encuentran aquellos subtítulos que dividen la demostración en partes. Estos sirven para ordenarla, de modo que el lector sepa en qué momento del proceso se encuentra y comprenda el propósito de este.
• En color azul oscuro se encuentran aquellas oraciones que definen los elementos que se van a utilizar dentro de la prueba. Tales definiciones establecen los términos en que se desarrolla la demostración.
• En color turquesa se encuentran aquellas oraciones que señalan con minucia el inicio o conclusión de un argumento.
• En color púrpura se encuentran aquellas oraciones que tienen una parte que da una explicación o razón y su consecuencia, lo cual es fundamental para sustentar la demostración. 
• En color verde se encuentran los conectores discursivos que contribuyen a relacionar cada una de las ideas de los argumentos de la demostración.
• En color rojo claro se encuentra la locución latina quod erat demonstrandum, la cual indica que la demostración ha concluido. Para esto, también se puede usar el símbolo □. Tenga en cuenta que este símbolo no es un comodín que reemplace el cierre de la misma; únicamente se usa para indicar que termina una demostración, separándola del resto del texto que le sigue.
• Finalmente, fíjese en que la puntuación -como se ha sugerido ya desde la sección 2 de este recurso- cumple un papel importante en cada caso. Los puntos seguidos contribuyen a segmentar cada una de las oraciones que constituyen la demostración, a la cuales también pertenecen los símbolos. Las comas ordenan las ideas; así se ve, por ejemplo, en las oraciones púrpura, varias de las cuales establecen una relación de condicionalidad marcada por este signo. Además, las comas también cumplen un papel importante al aparecer después de los conectores, pues ayudan a remarcar las relaciones entre las ideas. Los dos puntos, por su parte, permiten  anunciar e introducir claramente distintos componentes de la demostración. La puntuación también es, pues, un elemento relevante para la incorporación de los elementos formales en la escritura.

Como se ve, muchos son los elementos que constituyen involucrados en la escritura de una demostración que, en todo caso, debe siempre presentar un sustento para cada uno de los argumentos auxiliares (lemas) que soportan la afirmación principal. Las demostraciones son complejos ejercicios de argumentación y de escritura. Por eso es que existen varios aspectos, como los señalados previamente, que deben ser tenidos en cuenta para construirlas de tal forma que cumplan con su propósito comunicativo y matemático. 

4. Recomendaciones 

En las secciones anteriores se han hecho distintas anotaciones sobre aspectos a tener en cuenta para la escritura de elementos formales en textos de CTIM. Esta sección hace hincapié en algunos de esos elementos y, en general, presenta algunos parámetros útiles para cualquier escrito que usted tenga propuesto realizar, incluidos los escritos del ámbito de CTIM. 

•  Identifique su audiencia, su contexto y revise las instrucciones asociadas a la elaboración de su escrito

La escritura tiene un propósito comunicativo. Por tanto, esta tiene un público objetivo (audiencia), un contexto particular y, dependiendo de estos, puede tener unas instrucciones determinadas. Para comunicarse efectiva y pertinentemente, usted debe identificar estos aspectos y tenerlos en mente.

En primer lugar, pregúntese: ¿cuál es su audiencia? ¿a qué público va dirigido su escrito? No es lo mismo escribir un artículo científico dirigido a investigadores en topología algebraica a escribir una tarea en un curso sobre física estadística. La variación de la audiencia tiene implicaciones en el desarrollo de las ideas.

En segundo lugar, pregúntese ¿en qué contexto comunicativo se enmarca su escrito? No es lo mismo exponer una ponencia en un simposio internacional de lógica difusa a hacer una presentación del mismo tema en un seminario de estudiantes de pregrado. Dependiendo del contexto, aspectos que van desde el tipo de texto hasta su estructura y organización pueden variar.

Por último, pregúntese: ¿existen instrucciones para el desarrollo del texto que estoy realizando? Si sí, ¿cuáles son y de qué tipo son? Las instrucciones pueden ser un insumo valioso que le indique, por ejemplo, el tipo de texto que se espera que escriba y la estructura del mismo. También puede haber instrucciones acerca del contenido del texto: límite de palabras, temática, puntos de vista, entre otros.

• Escriba siempre oraciones completas y puntúe adecuadamente

Como quedó dicho, las ecuaciones están compuestas por oraciones completas. Tenga presente que no es recomendable que comience una oración con un símbolo: aunque esto sea gramaticalmente correcto, puede lucir extraño o confuso para el lector. Adicionalmente, recuerde que una oración debería expresar únicamente una idea; evite que las oraciones que componga sean muy extensas y ambiguas. Para aprender más sobre este asunto, le recomendamos revisar la estructura y función de la oración en el recurso La oración de este portal. 

Por otro lado, recuerde que los elementos formales hacen parte de una oración y, en consecuencia, deben estar puntuados según su función dentro de la misma. Para saber cómo incorporarlos usando adecuadamente la puntuación, usted puede transcribir el elemento formal en lenguaje natural y procurar incluirlo analizando qué propósito y qué posición debe tener dentro de la oración que está redactando. Además, puede revisar el recurso La coma, especialmente las secciones acerca del uso de este signo en oraciones que expresen causas, efectos o explicaciones; así como en oraciones que expresen condiciones o concesiones. Esto le ayudará a construir oraciones que le ayuden a comunicar claramente las ideas, como las oraciones condicionales señaladas en color púrpura en el ejemplo 3.C

•  Equilibre el uso de símbolos y palabras 

Recuerde que, en principio, todos los elementos formales pueden traducirse de símbolos a palabras, pero no necesariamente sucede lo contrario (no todas las palabras pueden ponerse como símbolos. Por eso, es sumamente importante que busque un equilibrio entre los símbolos que va a utilizar y el lenguaje natural (palabras). Todo símbolo debe tener un propósito explícito y consistente para el lector, de modo que siempre debe considerar si el uso de un símbolo es – en realidad – relevante y pertinente. En los casos en que sean irrelevantes, se le recomienda optar por el lenguaje natural (palabras) en lugar de usar símbolos.

•  Evite dibujar rayas y flechas por doquier 

Si usted está realizando un texto escrito a mano (lo cual no es aconsejable), le recomendamos no utilizar flechas o rayas para conectar ideas o elementos formales. Puede que parezca ahorrarle palabras y que es visualmente amigable, pero estos símbolos pueden llegar a ser muy ambiguos y distractores. En cambio, utilice frases de enlace que le permitan transitar del desarrollo de una idea a otra. En particular, estas frases se complementan con el uso de conectores; por eso, le recomendamos revisar el recurso de Conectores discursivos. 

•  ¿Yo? ¿Nosotros? ¿Uno? 

Algunas veces pueden surgir dudas respecto a cuál sujeto gramatical utilizar: ¿yo?, ¿nosotros?, ¿uno? Esta es una cuestión principalmente estilística. Sin embargo, aconsejamos el uso de la primera persona en plural (nosotros) a lo largo de demostraciones, soluciones a problemas y demás textos que conjuguen estos elementos formales. Esto promueve que el lector se involucre y sienta parte del desarrollo del razonamiento abstracto que se presenta. En cualquier caso, puede preguntar a su profesor, revisor o editor cuál es el estilo que es requerido para la elaboración de su texto.  

•  Siempre explique lo que está haciendo

Una forma de garantizar la comprensión del lector es explicarle con precisión lo que se va a hacer y lo que se está haciendo. Exhibir de manera directa y específica el propósito de cada parte de sus razonamientos es importante no solo para que el lector entienda en qué parte del desarrollo de su texto se encuentra, sino para que efectivamente pueda comprender sus razonamientos y convencerse de que estos son pertinentes y garantizan la veracidad de lo que usted comunica.

•  Siempre escriba la demostración inmediatamente después de la proposición

En el caso puntual de las matemáticas (y en algunas situaciones en física), es usual que se haga conveniente probar algunas proposiciones auxiliares (lemas) antes de escribir la prueba de una proposición más general. Sin embargo, tenga en cuenta que si usted comienza la demostración de la proposición general con la prueba de las auxiliares, esto podría confundir al lector, pues distintas pruebas se confundirían. Para evitar esto, lo que debe hacer es enunciar y demostrar cada proposición auxiliar aparte y, finalmente, enunciar y demostrar la proposición general. Considere el siguiente ejemplo. Usted desea probar la  «Afirmación 1» y, para ello, usted encuentra útil probar dos proposiciones auxiliares, «Lema 1» y «Lema 2». Entonces la estructura a seguir sería

                 a) Lema 1          
                 b) Demostración del Lema 1
                 c) Lema 2
                 d) Demostración del Lema 2
                 e) Afirmación 1
                 f) Demostración de la Afirmación 1

Ahora bien, todo lo anterior también aplica para cualquier elemento que se considere auxiliar a la demostración de una proposición. Si en vez de lemas, fueran definiciones las que son convenientes, estas deberían encontrarse antes del enunciado de la proposición a probar.

Tenga en cuenta que incorporar las sugerencias aquí expuestas le ayudará a elaborar textos que cumplan su propósito comunicativo.

5. Lista de chequeo

Halmos (1973) considera que la escritura debe ser un proceso espiral. Si consideramos los pasos de un proceso de escritura como 1, 2, 3, 4, …, es posible que del paso número 2 no siga directamente el número 3, sino que deba volverse al número 1, y así sucesivamente. En ese sentido, la revisión, que es parte fundamental del proceso de escritura, también hace parte de la espiral: es un proceso iterativo que aparece en varios momentos de la escritura. Esta última sección, justamente, le ofrece algunas indicaciones y criterios para que realice una revisión general de sus textos, incluyendo una revisión de la incorporación de los elementos formales en ellos.

Para comenzar, aunque parezca contraintuitivo, para llevar a cabo su proceso de revisión es necesario que deje de lado su texto por un tiempo; de ese modo evitará saturarse y podrá tomar distancia con el mismo. Lo anterior le ayudará a identificar con mayor claridad posibles errores presentes en su texto. Posteriormente, es útil que lea su texto en voz alta y que se fije en si cumple con los siguientes aspectos para que haga un balance de la claridad e integridad de su texto. Hágase las preguntas enlistadas enseguida mientras revisa su texto y verifique si cumple con lo que en ellas se establece:

• • ¿Tiene el texto una estructura clara y coherente?
  • ¿Hay información útil para que el lector pueda entender las partes más difíciles de su texto?
  • ¿Tiene el lector todas las definiciones, símbolos y componentes necesarios para entender cualquier enunciado, demostración, cálculo, fórmula, ecuación o expresión planteado? (Recuerde las explicaciones de las secciones 2 y 3 de este recurso).
  • ¿La notación utilizada es sencilla?
  • ¿La notación cumple es efectiva porque tiene una función clara?
  • ¿Usa la notación de manera consistente?
  • ¿Hay un equilibrio entre el uso de símbolos y palabras?
  • ¿Los pasos relevantes de los cálculos son explicados de manera precisa y sencilla?
  • ¿El lector puede entender qué está calculando y por qué se están haciendo esos cálculos?
  • ¿El lector sabe cuáles son los resultados de esos cálculos?
  • ¿Esos resultados están articulados de modo que haya una respuesta explícita?
  • ¿Puede el lector diferenciar las hipótesis de sus respectivas conclusiones?
  • ¿Son claras y válidas las inferencias lógicas que relacionan a las hipótesis con las conclusiones?
  • ¿Todo enunciado que hace (definiciones, hipótesis, inferencias, conclusiones) está escrito de manera sencilla?
  • ¿Hay un uso consistente y adecuado de la puntuación que permite al lector entender los elementos formales incorporados?

Verificar si cumple con lo establecido en esta lista de preguntas le ayudará a revisar y mejorar su texto. Después de haberlas respondido, queda una última recomendación: solicítele a un tercero que lea su texto y le ofrezca comentarios. Usted puede decidir, según sus propósitos y la audiencia a la que se dirija, si es más conveniente que esa persona sea de su disciplina o alguien externo. No se conforme con un ejercicio de autoedición. La comunicación es un proceso social en sí mismo, de modo que la perspectiva de alguien más puede ayudarle a reconocer cuán claro es para otros el texto que ha construido. 

6. Bibliografía

• Dimitri Bertsekas. (2002). Ten Simple Rules for Mathematical Writing. MIT. https://www.mit.edu/~dimitrib/Ten_Rules.html
• Steenrod et al. (1973). How to write mathematics. AMS.
• Kevin Lee. (s.f.). A Guide to Writing Mathematics. UC Davis.
• Kevin Houston. (2009). How to Write Mathematics. University of Leeds.
• Isaac Newton. (1987). Principios matemáticos de filosofía natural. Tecnos.
• Annalisa Cranell. (1994). Writing in Mathematics. Franklin and Marshall College.
• Steven Krantz. (2016). A Primer of Mathematical Writing. American Mathematical Society.

Nota

Este recurso pedagógico le pertenece a la Universidad de los Andes y está protegido por derechos de autor. Así mismo, el recurso se encuentra amparado bajo la licencia de Atribución – No comercial – Sin derivar de Creative Commons.

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En esta pestaña se encuentran los ejercicios personalizados sobre lectura crítica. Estos ejercicios se encuentran asociados al recurso pedagógico que aborda dicho tema. Antes de desarrollar los cuestionarios, usted puede consultar aquí el recurso sobre cómo leer críticamente. Sin embargo, usted también puede estudiarlo luego de completar los ejercicios. En todo caso, tenga en cuenta que los ejercicios personalizados no abarcan la totalidad de los contenidos expuestos en el recurso y que, por ello, le recomendamos que no deje de consultarlo.

Ahora bien, tenga en cuenta que este conjunto de ejercicios está compuesto por preguntas divididas en tres niveles de dificultad: básico, intermedio y avanzado. Le sugerimos iniciar en el nivel básico. Incluso si usted efectivamente se encuentra en un nivel superior, le aseguramos que se beneficiará de acceder a los conceptos, los ejemplos y las retroalimentaciones que se ofrecen en los niveles anteriores. Además, es importante que se asegure de responder todas las preguntas de cada nivel; al final, según su desempeño, obtendrá una retroalimentación general que le permitirá reconocer sus debilidades y sus fortalezas respecto a este tema. 

Note también que para cada nivel de dificultad existen dos cuestionarios. Si usted culminó con éxito un nivel, pero quiere afianzar lo aprendido en él, puede acceder al segundo cuestionario (que tendrá preguntas con distinto contenido, pero con el mismo nivel de dificultad que el primero).

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