Escritura de elementos formales matemáticos en textos de Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas (CTIM)

Recurso elaborado por Christian Dávid Reinach-Baumgartner

En el presente recurso se explica cómo se integran en la escritura distintos elementos formales matemáticos (expresiones, ecuaciones, fórmulas, cálculos, soluciones a problemas y demostraciones) en textos del ámbito de CTIM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas.) En principio, se describe qué es la escritura formal en dicho ámbito y por qué es importante. Posteriormente, se aclara cómo escribir dichos elementos. Finalmente, se provee una serie de recomendaciones y una lista de chequeo que le permitirá verificar si usted utilizó adecuadamente tales elementos sus escritos. 

Tabla de contenido

• 1. La escritura formal en CTIM
  • 1.1 ¿Qué es la escritura formal en CTIM?
  • 1.2 ¿Por qué es importante la escritura formal en CTIM?
• 2. Escritura de expresiones, ecuaciones y fórmulas
• 3. Escritura de cálculos, soluciones a problemas y demostraciones 
  • 3.1 Cálculos y soluciones a problemas
  • 3.2 Demostraciones
• 4. Recomendaciones generales de escritura
• 5. Lista de chequeo 

1. La escritura formal en CTIM

1.1 ¿Qué es la escritura formal en CTIM?

Aunque no existe una respuesta fija y universal, puede decirse simplemente que la escritura formal en el ámbito de CTIM es aquella escritura donde los elementos formales matemáticos son utilizados como medios primarios para la expresión, la argumentación o la resolución de problemas (Bertsekas, 2002, p. 3). Esta escritura se usa en muchísimas áreas, pues se encuentra en todos aquellos libros, artículos o textos de divulgación donde se analizan modelos matemáticos usados en ingeniería, física, química, biología, economía, psicología e, incluso, sociología, por enlistar algunos ejemplos.

Con lo anterior, es menester aclarar que la escritura formal se relaciona con aquellos lenguajes que utilizan un alfabeto compuesto por símbolos abstractos y una sintaxis formalmente especificada. Estos lenguajes se denominan lenguajes formales y son distintos al lenguaje natural, pues este último se entiende como aquel que usamos para comunicarnos de forma cotidiana y que suele desarrollarse de forma «natural», es decir, de una forma en cierto modo espontánea (bajo estos términos, el español, por ejemplo, se considera un lenguaje natural). La escritura formal incorpora lenguajes abstractos, a los cuales pertenecen elementos como las expresiones formales, las ecuaciones, las fórmulas, las soluciones a problemas y las demostraciones.

1.2 ¿Por qué es importante la escritura formal en CTIM?

Pueden darse dos sencillas respuestas a esta pregunta. En primer lugar, la adecuada escritura formal, realizada a través de la integración de los elementos formales, requiere una organización de las ideas que se quieren transmitir con estos. En ese sentido, la escritura formal contribuye al procesamiento mismo en el pensamiento tanto de, por ejemplo, aquellas relaciones abstractas que se condensan en las fórmulas o sus desarrollos como de aquellas que se expresan en las demostraciones. De hecho, la escritura formal exige a los autores autoevaluar su conocimiento sobre el tema a desarrollar. Solo cuando se tiene una comprensión real de los conceptos o ideas es que se los puede comunicar con claridad y sencillez. En suma: la escritura formal permite tanto el desarrollo del pensamiento como su expresión.

En segundo lugar, la escritura formal otorga fiabilidad al texto que se está escribiendo. Cuando un texto describe, explicita y relaciona de manera adecuada fórmulas, afirmaciones abstractas o cálculos necesarios para analizar resultados o inferirlos, los lectores pueden evaluar críticamente los razonamientos y marcos teóricos utilizados, de manera que el escrito sea siempre transparente y contribuya efectivamente a la construcción de nuevo conocimiento. Al no utilizar adecuadamente la escritura formal, el texto puede no solo perder su fiabilidad, sino su alcance y relevancia. Ante la poca claridad del escrito, la audiencia probablemente no lo citaría ni lo compartiría.

Así, este recurso le proporcionará indicaciones útiles para saber cómo integrar distintos elementos formales en la escritura, lo cual puede ayudarle a desarrollar adecuadamente una escritura formal, con los beneficios que esto supone y que se han enunciado previamente.

2. Escritura de expresiones, ecuaciones y fórmulas

Para desarrollar una adecuada escritura formal en el ámbito de CTIM una necesidad primordial es integrar apropiadamente en los textos expresiones formales, ecuaciones, fórmulas y fórmulas lógicas. Esta sección está dedicada, precisamente, a explicar cómo se puede lograr lo anterior. Por ello, explica en qué consisten todos estos elementos y cuáles son las consideraciones más importantes para incorporarlos en la escritura.

Para comenzar: ¿Sabe usted la diferencia entre \(\color{#2359c4}{2x^2+x=4x^3-1\;\;}\) y \(\color{#2359c4}{\;\;2x^2}\)? A primera vista se podría pensar que son lo mismo, pero la realidad es que entre estos dos elementos existe una sutil diferencia. Para identificar cuál es, considere la siguiente información. 

Expresiones formales:

Una expresión formal es una concatenación de símbolos que describe objetos abstractos o una operación válida entre varios de ellos. Son ejemplos de expresiones formales los siguientes: \(\{1,2,3,4\}\) o \(2x+x^2+x^3\); aquí, justamente, se describen objetos abstractos y, como en el segundo caso, se expresan operaciones entre ellos. En ese orden de ideas, un elemento como \(\{°\}\) no es una expresión formal, como tampoco lo es la concatenación \(2x+<\). Esto se debe a que, por un lado, \(\{°\}\) establece un conjunto compuesto por °, el cual no refiere a algún objeto abstracto conocido y, por tanto, no constituye un miembro de un conjunto per se. Por otro lado, \(2x+<\) establece una suma entre \(2x\) y \(<\), pero este último no es un elemento del mismo tipo que \(2x\), sino que es un símbolo que da cuenta de una relación de orden. En palabras, esta expresión dice “\(2x\) sumado a menor que”, lo cual no tiene ningún sentido matemático. Así, aquí tampoco hay una expresión formal, pues no se prepone una operación válida entre los elementos.

Ecuaciones:

Considere ahora a las ecuaciones. Estas refieren al uso de símbolos para presentar una relación entre dos expresiones formales. Un ejemplo de ello es \(2x+x^2+x^3=\left(x-3\right)^2\), donde \(=\) es el símbolo que representa una relación de igualdad entre las dos expresiones dadas. Tenga en cuenta que no todas las relaciones que se expresan son de igualdad: algunas son de orden, como cuando escribimos \(x^2+x+3x^3\le4x^5\). 

Con base en esto, ya es posible responder a la pregunta con la que inicia esta sección: ¿cuál es la diferencia entre \(\color{#2359c4}{2x^2+x=4x^3-1\;\;}\) y \(\color{#2359c4}{\;\;2x^2}\)? Como usted habrá concluido, la primera es una ecuación matemática; la segunda es solamente una expresión formal. Aclarado esto, aún resta considerar dos elementos: las fórmulas y las fórmulas lógicas, que son usuales dentro de la escritura en CTIM y cuyas características se exponen a continuación

Fórmulas:

En algunas áreas como la física o la ingeniería existen ciertas ecuaciones que establecen una relación que siempre se cumple entre varios objetos abstractos bien definidos. Estas son muy utilizadas en la realización de cálculos y son denominadas fórmulas. Un ejemplo de ello es la fórmula que expresa la Segunda Ley de Newton en mecánica clásica:
$$F=\frac{dp}{dt},$$
donde \(F\) es la fuerza ejercida a un objeto y \(\frac{d{p}}{{dt}}\) es el cambio en el momentum del mismo objeto por unidad de tiempo.

Es importante notar que, en este sentido, todas las fórmulas son ecuaciones, pero no todas las ecuaciones son fórmulas. Por ejemplo, la fórmula de la fuerza nos puede llevar a la ecuación
$$F=300N,$$
la cual no es una fórmula, pues es falso que en cualquier situación \(F\) tenga ese valor específico (si así lo fuese, sería una constante). Así, en general, la diferencia entre una ecuación y una fórmula -que es un tipo de ecuación con características particulares- es que la primera determina una relación entre objetos de cualquier tipo, mientras que la segunda establece una relación que siempre se cumple entre objetos concretos, fijos y generales. 

Fórmulas lógicas:

El término fórmula puede asociarse a un concepto más formal (en Matemáticas o en Ciencias de la Computación), el cual podríamos denominar como fórmula lógica. Este concepto refiere a la concatenación de variables enunciativas y operadores o cuantificadores lógicos; tal concatenación ha de cumplir con las reglas gramaticales de, por ejemplo, la lógica proposicional. Ejemplo de ello es la fórmula $$a\iff\neg b,$$ donde \(a\) y \(b\) son las variables enunciativas que representan una proposición, mientras \(\iff\) y \(\neg\) representan operaciones lógicas que construyen una proposición más compleja. 

Elementos fundamentales para la incorporación de estos elementos en la escritura:

El ejemplo de la Segunda Ley de Newton traído a colación previamente es útil para considerar la manera en la que los elementos expuestos se integran en un texto. Como se habrá podido notar, solo escribir una fórmula -o una ecuación, en general, a su vez compuesta por expresiones formales- sin ningún tipo de contexto no dice nada: no comunica ideas comprensibles. Para que esto suceda, estos elementos deben introducirse a partir de un contexto que usualmente emerge desde el lenguaje natural. Además, deben acompañarse de componentes específicos que cumplen diversas funciones. Observe el siguiente ejemplo y analice cuáles son los aspectos y componentes necesarios para integrar las ecuaciones en un texto:

Ejemplo 2.A. Segunda Ley de Newton. Consideremos el enunciado de la Segunda Ley de Newton: “El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime” (Newton, p. 41). Así, podemos expresar la ley matemáticamente como
$$\color{blue}{F=\frac{{dp}}{{dt}}}\color{red},$$
donde \(dp/dt\) hace referencia al cambio del momentum en el tiempo. Si tenemos en cuenta que el momentum está dado por \(\color{blue}{p={m}\cdot{v(t)}}\), donde \({m}\) es la masa de este y \({v}\) su velocidad en función del tiempo, podemos reescribir la anterior fórmula como 

$$\color{blue}{F=\frac{d(m\cdot v(t))}{dt}}\color{red}.$$
Además, si asumimos que es constante la masa del cuerpo sobre el que se imprime la fuerza a considerar, puede establecerse que
$$\color{blue}{F=\frac{{m}\cdot{dv}}{{dt}}}\color{red}.$$
Finalmente, si tenemos que la aceleración se entiende como el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, la ecuación de la fuerza se reescribe como
$$\color{blue}{F={m}\cdot{a}}\color{red},$$
donde \({a}\) representa a aquella aceleración

En el ejemplo anterior vemos algunos componentes en distintos colores. Primero, en color azul claro, se encuentra la explicación de la relación que manifiesta la ecuación; esta es necesaria para entender de antemano qué es lo que la ecuación expresa. Posteriormente, en color rojo oscuro, se hace referencia a aquellos enunciados que introducen la ecuación a exponer; estos sirven para insertarla de un modo coherente. En color azul oscuro se señala la ecuación en sí. Observe que tanto las frases que introducen las ecuaciones como estas en sí mismas deben formar una oración completa; de ese modo, resultan comprensibles las ideas que se están comunicando. Además, en color rojo claro está la puntuación relativa a la ecuación; esta también es necesaria para ordenar las ideas. Fíjese en cómo, por ejemplo, los puntos ayudan a remarcar el cierre de las oraciones completas. Finalmente, en color verde se encuentra la explicación de la notación involucrada en la ecuación. Como se ve, todos estos elementos (la explicación de la relación de la ecuación, los enunciados que la introducen, las ecuaciones en sí mismas, la puntuación y las explicaciones sobre la notación utilizada) son necesarios para desarrollar lógicamente el razonamiento que se quiere expresar y para que este sea comprendido por parte del lector. 

Ahora, analice brevemente otros ejemplos -más complejos- del Análisis Funcional. Procure determinar qué función cumplen los componentes señalados con colores y por qué son importantes.

Ejemplo 2.B. Sean \(X\) un espacio normado y \(\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) una sucesión en \(X\), la cual converge débilmente a \(x_0\). Supongamos que \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) está contenida en \(V\), donde este último es un subconjunto cerrado y convexo de \(X\). Entonces, tenemos que \(\left(x_n\right)\) converge débilmente a \(x_0\) en \(V\). Además, existe una sucesión
$$\left(\sum_{k=1}^{n}\lambda_k^{\left(n\right)}x_k\right)_{n\in\mathbb{ N}}$$
de combinaciones lineales de los elementos de \(\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\), tal que converge a \(x_0\).

Ejemplo 2.C. Sean \(\left[a,b\right]\) un intervalo cerrado en \(\mathbb{R}\) y \(n\) un número natural. Adicionalmente, tomemos \(a\le t_1^{(n)}<\cdots<t_n^{(n)}\le b\) y \(\alpha_k^{\left(n\right)}\) en \(\mathbb{K}\), donde \(k=1,\ldots,\ n\). Así, se define
$$Q_n\left(f\right)=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k^{\left(n\right)}f\left(t_k^{\left(n\right)}\right) ,$$
donde \(f\) es una función en el espacio de funciones continuas sobre \([a,b]\).

Como se ve, en color púrpura se encuentran aquellas expresiones que, aunque representables en símbolos, se escriben en lenguaje natural. Esto se debe a la necesidad de evitar abusos de notación y mantener un equilibrio con el lenguaje natural que posibilite una comprensión más clara de lo que se quiere decir. Por otro lado, en color verde claro se encuentran los conectores discursivos que dan coherencia y cohesión a las ideas. Fíjese en que tanto el ejemplo 2.B como el ejemplo 2.C tienen conectores con distintas funciones: algunos son de adición (suman información); otros expresan una consecuencia lógica.

Tenga en cuenta:

Para insertar estos elementos en la escritura formal se requiere utilizar diversos componentes como los que se han explicitado hasta ahora: explicaciones de las relaciones manifiestas en una ecuación, enunciados para introducirla, uso de la puntuación, aclaraciones sobre la notación y conectores. Es importante, además, remarcar que, al escribir una expresión, una ecuación, una fórmula o una fórmula lógica, siempre puede usarse el lenguaje natural, por lo que no es adecuado hacer uso excesivo de la notación formal e intentar sustituir todas las palabras por símbolos o añadir símbolos irrelevantes. El famoso matemático Paul Halmos (1973) sentenciaba que “la mejor notación es la que no hay; siempre que sea posible evitar el uso de una complicada simbología, hazlo” (p. 40). En resumen, la sencillez es mandatoria; sea cual sea la audiencia, ¡queremos que nos entiendan!

Para ilustrar lo anterior, fíjese en lo que ocurre con el símbolo \(\in\), que significa “pertenece a”, como en la afirmación “Si \(a\in A\), entonces \(a\in B\)”. No hay necesidad de escribir \(\in\) en la oración; en cambio, basta con decir “Si \(a\) pertenece a \(A\), entonces \(a\) pertenece a \(B\)”. Exactamente lo mismo pasa con los símbolos como \(\cap\), \(\cup\), \(\subset\), entre otros. Esto no desconoce, por supuesto, que en algunas situaciones puede hacerse necesario utilizar la simbología.

Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.D. Definición de función real continua. Una función real \(f\) sobre un conjunto \(D\) se dice continua en \(x_0\in D\) si y solo si, para \(\varepsilon\) mayor a cero, existe \(\delta\) mayor a cero tal que \(\left|x-x_0\right|<\delta\) implique \(\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon\), donde \(x\) es cualquier elemento de \(D\).

En este ejemplo, se hace necesario añadir simbología que haga posible la escritura de las desigualdades. Es cierto que la anterior podría describirse meramente con palabras: “Una función real se dice continua sobre un elemento de su dominio si, y solo si, la imagen de una vecindad pequeña del elemento es igualmente pequeña”. Sin embargo, esto puede dar paso a interpretaciones subjetivas que podrían conducir a deducciones erróneas. Por ello es que, en los casos como este, donde el uso exclusivo de lenguaje natural da lugar a ambigüedades, se hace necesario el uso de una notación accesible y consistente.

Finalmente, tenga en cuenta que, salvo ciertas situaciones, las ecuaciones (incluidas en ellas, las fórmulas y las fórmulas lógicas) acostumbran a ir en una línea aparte del texto; con esto se evita que el texto esté compilado inadecuadamente y que haya ofuscamiento visual. Particularmente, se ponen en línea aparte cuando el contenido y los símbolos involucrados son grandes como en el caso del símbolo de sumatoria, el de integración o las fracciones (véanse los ejemplos 2.B y 2.C). En el caso de las fórmulas lógicas, estas siempre se ponen aparte. Las expresiones, por el contrario, suelen ir en línea con el texto, a excepción de aquellas que, de nuevo, contengan símbolos que excedan el tamaño estándar de la línea y el interlineado. Adicionalmente, aun cuando una expresión o una ecuación no tengan símbolos grandes, estas pueden colocarse en una línea aparte con la intención de darles importancia dentro del texto.

En resumen:

Considerar esta información puede serle muy útil para incorporar adecuadamente estos elementos de la escritura formal y, con ello, comprender sus propias ideas y comunicárselas claramente a sus lectores.

3. Cálculos, soluciones a problemas y demostraciones

Anteriormente, hemos visto cómo se pueden incorporar adecuadamente en la escritura expresiones formales, ecuaciones, fórmulas y fórmulas lógicas. Ahora, es preciso considerar los aspectos relevantes asociados con la escritura de cálculos, soluciones a problemas y demostraciones. Para empezar, es necesario tener en cuenta que las soluciones y las demostraciones están compuestas por ecuaciones (y, por tanto, por expresiones formales). En particular, esta transitividad se debe a que las soluciones y las demostraciones comparten un punto en común: formulan una sucesión de expresiones, símbolos y ecuaciones que se articulan lógicamente con el objetivo de verificar, obtener o argumentar.

En lo que concierne a su escritura, conviene anotar las palabras del matemático Kevin Lee (s.f.), quien afirma:

Una lista de cálculos sin ningún contexto ni explicación demuestra que has pasado algún tiempo haciendo cálculos; una lista de cálculos sin ninguna explicación omite las ideas. Las ideas son las matemáticas. Por lo tanto, una página de cálculos sin ninguna escritura o explicación no contiene matemáticas. (p. 2)

Estas ideas sirven para señalar que, para presentar soluciones y demostraciones (en últimas, ideas matemáticas), los cálculos por sí solos no bastan: deben integrarse a la escritura explicando, a través de ella, las ideas que se busca expresar. Veamos la manera en que tal articulación y explicación se deben dar, por un lado, en soluciones a problemas; por el otro, en demostraciones matemáticas.

3.1 Cálculos y soluciones a problemas

Hay gran diferencia entre el calcular y presentar la solución a un problema. Hacer (calcular) no viene a ser lo mismo que escribir. Por un lado, hacer refiere al hecho de pensar y desarrollar informalmente aquellas ideas que se derivan de la actividad en un área de las CTIM. Cuando usted está intentando solucionar un problema o realizar un ejercicio (es decir, haciendo), puede omitir las reglas de escritura formal. Sin embargo, escribir es precisamente el acto de plasmar formalmente esas ideas. Así, en el hacer no existe un requerimiento explícito de orden, mientras que este es necesario en el escribir para que otra persona pueda leer y entender.

Tomemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.1.A. Cálculo para un ejercicio.
El ejercicio pregunta: ¿tiene la función \(f\left(x\right)=\frac{x^2-x^3}{x^2+1}\) asíntota oblicua?
La solución fue escrita por un estudiante de la siguiente forma:

$$\begin{align}
a & \rightarrow \lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=\frac{x^2-x^3}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{x-x^2}{x^2+1}=-1\\
b &  \rightarrow\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f\left(x\right)}-ax=\frac{x^2-x^3}{x^2+1}+x=1 \\
& \rightarrow y=1-x
\end{align}$$

¿Entendería usted por qué el estudiante hizo esos cálculos, qué significa cada ecuación o cuál es la respuesta a la pregunta del ejercicio? En general, un lector no podría extraer mucha información de estos cálculos; lo escrito es sumamente ambiguo. Por lo tanto, no se podría decir que esto sea la solución al ejercicio o problema, pues, para que lo sea, es necesario usar los cálculos para plantear y presentar una respuesta explícita y eficaz. Aquí, el estudiante solo calcula, pero no presenta ni soluciona.

Lo primero que puede notarse en este ejemplo es que hay dificultades con la notación. Por un lado, quien escribe no explica qué son \(a\), \( b\) y \(y\); por el otro, hace uso inadecuado del símbolo \(\rightarrow\), el cual significa “entonces”. Tampoco usa consistentemente el símbolo \(\lim\), pues no lo coloca aun cuando sigue calculando un límite.

Lo segundo que puede notarse es que el estudiante, como ya se dijo, no desarrolla con precisión cada uno de los pasos algebraicos que realiza para calcular los límites presentados. En particular, no es claro cómo llega al resultado de cada límite, no expone por qué puede hacer el límite indiscriminadamente para \(+\infty\) o \(-\infty\) ni explicita cómo llega a establecer que \(y=1-x\).

Dicho lo anterior, analice el ejemplo dispuesto a continuación; procure contrastar el ejemplo anterior y el modo en el que aquí se presentan los cálculos: ¿cuáles son las diferencias? Evalúe si, en últimas, esta presentación es más clara y si, en efecto, se provee una solución; de ser así, intente establecer las razones por las que esto ocurre.

Ejemplo 3.1.B. Presentación de solución a un ejercicios.
¿Tiene la función \(f\left(x\right)=\frac{x^2-x^3}{x^2+1}\) asíntota oblicua?
Solución:
Para revisar si \(f\left(x\right)\) tiene asíntota oblicua, descrita por la ecuación de recta \(y=ax+b\), se debe cumplir que
$$\color{#339966}{lim_{x\rightarrow+\infty}{[f\left(x\right)-y}]=0}$$
y
$$\color{#339966}{\lim_{x→-∞}[fx-y]=0.}$$
Para encontrar los coeficientes de la ecuación de la recta, utilizamos las fórmulas
$$\color{#339966}{a=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}}$$
y
$$\color{#339966}{b=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f\left(x\right)-ax}.}$$
Así, en primer lugar, tenemos que
$$\begin{align}
\color{#00ccff}a
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x\left(x^2+1\right)}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x-x^2}{x^2+1}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x-x^2}{x^2+1}\cdot\frac{x^2}{x^2}}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\frac{1}{x}-1}{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{0-1}{1+0}}\\
&\color{#00ccff} = \color{#00ccff}{-1.}\end{align}$$
En segundo lugar, tenemos que
$$\begin{align} \color{#00ccff}b
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{f\left(x\right)-ax}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x^2+1}-\left(-1\right)x}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x^2+1}+x\frac{x^2+1}{x^2+1}}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2+x}{x^2+1}}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}}}\\
&\color{#00ccff}= \color{#00ccff}{1.}
\end{align}$$
Por otro lado, como las funciones \(h\left(x\right)=1/x\) y \(g\left(x\right)=1/x^2\) tienden a cero cuando \(x\) es infinitamente pequeño, deducimos que
$$\color{#990000}{\lim_{x\rightarrow-\infty}{\frac{f\left(x\right)}{x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}{\frac{\frac{1}{x}-1}{1+\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\frac{1}{x}-1}{1+\frac{1}{x^2}}}=-1=a.}$$
Análogamente, podemos establecer que
$$\color{#990000}{\lim_{x\rightarrow-\infty}\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}}=1=b.}$$

Por ende, cuando \(x\) se hace infinitamente grande o infinitamente pequeño, la posible asíntota oblicua de \(f\left(x\right)\) es \(y=1-x\). Verifiquemos esto seguidamente:
$$\begin{align}\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\left[f\left(x\right)-y\right]}} &\color{#004F79}=\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x^2-x^3}{x^2+1}-1+x}}\\
&\color{#004F79}= \color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{x-1}{x^2+1}}}\\
&\color{#004F79}= \color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow+\infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}.}\end{align}$$

Teniendo en cuenta la justificación dada hace algunas líneas, podemos reescribir este último límite como
$$\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}.}$$
Luego,
$$\color{#004F79}{\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\left[f\left(x\right)-y\right]}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}}=\frac{0}{1}=0.}$$
Lo cual comprueba que \(f\left(x\right)\) sí tiene asíntota oblicua, la cual está dada por \(y=1-x\).

Como se ve, lo que aquí se desarrolla es mucho más extenso que lo que se presenta en el ejemplo 3.1. Si bien la longitud es mayor, la escritura es mucho más precisa y no incurre en exponer cálculos irrelevantes para el nivel de complejidad del tema. En últimas, sí se presenta una solución al ejercicio mucho más clara y comprensible. Analicemos por qué ocurre todo esto.

En color púrpura se escribe el título de la sección que sucede al enunciado del ejercicio (en este caso, “Solución”). En color verde se encuentran aquellos enunciados que explicitan la teoría que se adecúa al ejercicio y se define la notación a utilizar; con ellos, se aclara la razón por la cual se hacen los cálculos presentados. Luego, en azul claro se encuentran los cálculos básicos que se deducen de la teoría base. Posteriormente, en rojo oscuro, está la explicación sobre por qué se pueden computar los límites sin discriminar entre \(+\infty\)  y \(-\infty\). En azul cobalto se hace la verificación pertinente a partir de la teoría. Finalmente, con color turquesa se plasma la conclusión que responde al ejercicio. Esta secuencia de elementos es imprescindible para que se comprenda la respuesta al ejercicio y el razonamiento subyacente al hallazgo de esta respuesta. Cada elemento, su precisión y su concatenación ordenada son fundamentales para que se pueda comprender la solución propuesta. Note también que -tal como se señaló en el caso de las ecuaciones y al estar compuestas por ellas- las soluciones deben estar acompañadas por un lenguaje natural que las dote de sentido en la escritura. 

Nota del ejemplo 3.1.B.: Observe, por último,  que la palabra posible se encuentra en color rojo. Esto se debe a que hasta ese instante los cálculos realizados no permitían establecer que la recta \(y=1-x\) es la asíntota oblicua de la función dada por el ejercicio: hacía falta verificarlo. Haber afirmado lo anterior apresuradamente habría supuesto una coherencia. Por eso, solo hasta el final, en color azul oscuro está la afirmación concluyente de que tal recta es, efectivamente, la asíntota buscada.

3.2 Demostraciones

Si las soluciones a problemas o ejercicios necesitan de una presentación ordenada, precisa y efectiva, las demostraciones matemáticas necesitan lo mismo e incluso más, pues estas se distinguen de las soluciones en tanto que tienen un objetivo muy bien delimitado, a saber: deducir la verdad de una proposición matemática.

Además de la articulación de expresiones formales y ecuaciones, las demostraciones requieren que usted precise todo elemento que se haga necesario usar durante la argumentación (y que el lector no necesariamente conozca): definiciones, otras afirmaciones ya probadas, observaciones y explicaciones conceptuales relevantes. Esto implica que las demostraciones no solo deben estar desplegadas de manera minuciosa, sino que requieren de un entorno matemático propicio para su articulación.

En relación con lo anterior, tanto las matemáticas como algunas ciencias naturales se caracterizan por insistir en el uso estricto y riguroso de definiciones que describen terminología y conceptos. Por esta razón, las definiciones deben disponerse de la manera más sucinta y comprensible posible. Estas no deben ser trabas para el lector; por el contrario, deben apoyar su comprensión (Krantz, 2016, p. 74).

Retomemos el ejemplo 2.D de la sección anterior, el cual aparece en la primera fila de la siguiente tabla. Compárelo con los siguientes ejemplos (3.2.A y 3.2.B) y analice: ¿cuáles son sus diferencias?, ¿en qué casos la definición se presenta de forma más clara y comprensible?

Como habrá notado, la definición del ejemplo 2.D no es ambigua, pero puede requerir algunas relecturas para ser entendida a cabalidad. Esto se debe a que la definición está construida en solo una oración. En cambio, el ejemplo 3.2.A está compuesto por dos oraciones (no por una como en el ejemplo 2.D) y la expresión previa a los dos puntos tiene la función de introducir la afirmación que, en efecto, define a una función real como continua. Esto puede ayudar a a esclarecer la definición. Por su parte, el ejemplo 3.2.B prioriza el uso adecuado de símbolos sobre las descripciones con lenguaje natural y asume cierto nivel del lector con respecto a la comprensión de la sintaxis de las fórmulas lógicas y la simbología que en ellas se usa. En este último ejemplo la expresión que se introduce con los dos puntos se convirtió en una fórmula lógica que afirma exactamente lo mismo. Análogamente al ejemplo 3.2.A., la fórmula no es introducida de manera abrupta, pues se utiliza la expresión “siguiente afirmación” para computarla en la línea siguiente. En este sentido, todos los ejemplos (2.D, 3.2.A y 3.2.B) ofrecen alternativas para construir la definición, si bien los dos últimos son un poco más precisos y ofrecen transiciones claras entre la información.

Ahora bien, una vez se construyen las definiciones de los objetos abstractos, se pueden deducir sus propiedades o relaciones con otros objetos a partir de demostraciones; mediante estas se exhibe que una afirmación matemática es verdadera, de ahí su nombre, pues demuestran si la afirmación es verdadera. Para construir adecuadamente una demostración, es necesario establecer antes, y de modo directo, cuál es la afirmación a la cual se refiere. Asimismo, es necesario que se enuncie y demuestre toda afirmación auxiliar (conocida como lema) a la demostración de la afirmación que se considera más relevante o general (veáse la recomendación 7 de la sección 4). 

Considere el siguiente ejemplo de una demostración extensa. ¿Puede identificar cuál es su estructura?, ¿cuál es la afirmación principal?, ¿cuáles son las afirmaciones auxiliares (lemas)?, ¿cómo se desarrolla la demostración? 

Ejemplo 3.2.C. Teorema de contracción de Banach. Sea \((X,d)\) un espacio métrico completo y sea \(f\colon X\to X\) una función para la cual existe un \(c\in(0,1)\) tal que $$d(f(x),f(y))\leq cd(x,y),$$ con \(x,y\in X\). En tal caso, existe únicamente un \(x_0\in X\) que cumple que \(f(x_0)=x_0\).

Demostración: Probamos la existencia de tal \(x_0\) y luego su unicidad.
Existencia: 
Tomemos \(x\in X\) y definamos \(x_n = f^n(x)\) para todo \(n\in\mathbb N\).
Vamos a mostrar que \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) es una sucesión de Cauchy. Para ello, observamos que
\begin{align}
d(f^{k+m}(x), f^m(x))
&\le c d(f^{k+m-1}(x), f^{m-1}(x))\\ & \hspace{0.5em}\vdots\\
&\le c^m d(f^{k}(x), x), \tag{1}\end{align} para cualesquiera \(m,k\in\mathbb N_0\). Por lo tanto, obtenemos lo siguiente:
\begin{align}
\nonumber
d(f^{k}(x), x)
& \le
d(f^{k}(x), f^{k-1}x) \\ & \hspace{1.5em}+ d(f^{k-1}(x), f^{k-2}x)+ \cdots + d(f(x), x)
\\
\nonumber
& \le
c^{k-1} d(f(x), x) \\ & \hspace{1.5em}+ \cdots + c d(f(x), x) + d(f(x), x)
\\

& = \left( \sum_{j=0}^{k-1} c^j \right) d(f(x), x)\\
& = \frac{1-c^k}{1-c} d(f(x), x)\\
&\le \frac{d(f(x), x)}{1-c}.\tag{2}
\end{align} Por \((1)\) y \((2)\), podemos afirmar que
\begin{align}
d(f^{k+m}(x), f^m(x))
&\le c^m d(f^{k}(x), x)\\
&\le c^m \frac{d(f(x), x)}{1-c} . \tag{3}
\end{align}

Ahora, consideremos \(\epsilon > 0\). Además, sabemos que \((c^n)_{n\in\mathbb N}\) es decreciente y tiende a \(0\), pues \(0< c <1\). En consecuencia, podemos fijar \(N\in\mathbb N\) tal que \(c^N < \epsilon\frac{1-c}{d(f(x), x)}\).
Si para cualesquiera \(n\ge m \ge N\) tomamos \(k=n-m\) en \((3)\), deducimos que
\begin{equation*}
d(f^n(x), f^m(x))
\le c^m \frac{d(f(x), x)}{1-c}
\le c^N \frac{d(f(x), x)}{1-c}
< \epsilon.
\end{equation*} En efecto, con esto demostramos que \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) es una sucesión de Cauchy. Como \(X\) es un espacio completo, existe \(x_0 := \lim\limits_{n\to\infty} x_n\).

Mostremos que \(f(x_0) = x_0\). Supongamos que esto no es cierto. En este caso, \(\epsilon := d(f(x_0), x_0) > 0\) y, dado que \(x_0 = \lim\limits_{n\to\infty} x_n = \lim\limits_{n\to\infty} f^n(x)\), podemos elegir un \(N\in\mathbb N\) tal que \(d(f^N(x), x_0) < \frac{\epsilon}{2}\) y \(cd(f^{N-1}(x), x_0) < \frac{\epsilon}{2}\). Así, se tienen las siguientes desigualdades:
\begin{align*}
d(x_0, f(x_0))
&\le d(x_0, f^N(x)) + d(f^N(x), f(x_0))
\\
& \le d(x_0, f^N(x)) + c d(f^{N-1}(x), x_0)
\\
&< \epsilon = d(x_0, f(x_0)).
\end{align*} Esto es una contradicción y, entonces, se concluye que \(f(x_0) = x_0\).

Unicidad:
Asumamos que existen \(x,y\in X\) tales que \(f(x) = x\) y \(f(y)=y\). Entonces,
\begin{equation*}
d(x, y) = d(f(x), f(y)) \le c d(x, y).
\end{equation*} Dado que \(0<c<1\), lo anterior es posible solo si \(d(x,y)=0\), es decir, solo si \(x=y\). Q.E.D.

Como se ve, la demostración está compuesta por varios elementos que son imprescindibles para que su construcción sea adecuada. Analicémoslos uno a uno:

• En color azul claro se encuentra, de forma explícita y directa, la afirmación que se va a demostrar a continuación. Establecer esta afirmación es, como se dijo antes, una condición necesaria para el desarrollo de la demostración. Con ella, queda claro desde el inicio qué es lo que se quiere demostrar.
• Posteriormente, en color azul cobalto se encuentra la expresión «demostración», la cual indica la transición desde el enunciado establecido previamente hacia la prueba del mismo. Además, con el mismo color se encuentra un breve comentario acerca del procedimiento que sigue esa prueba. Este comentario ayuda a preservar la coherencia de la demostración, pues da cuenta del orden en que esta se desarrolla. 
• En color rojo oscuro se encuentran aquellos subtítulos que dividen la demostración en partes. Estos sirven para ordenarla, de modo que el lector sepa en qué momento del proceso se encuentra y comprenda el propósito de este.
• En color azul oscuro se encuentran aquellas oraciones que definen los elementos que se van a utilizar dentro de la prueba. Tales definiciones establecen los términos en que se desarrolla la demostración.
• En color turquesa se encuentran aquellas oraciones que señalan con minucia el inicio o conclusión de un argumento.
• En color púrpura se encuentran aquellas oraciones que tienen una parte que da una explicación o razón y su consecuencia, lo cual es fundamental para sustentar la demostración. 
• En color verde se encuentran los conectores discursivos que contribuyen a relacionar cada una de las ideas de los argumentos de la demostración.
• En color rojo claro se encuentra la locución latina quod erat demonstrandum, la cual indica que la demostración ha concluido. Para esto, también se puede usar el símbolo □. Tenga en cuenta que este símbolo no es un comodín que reemplace el cierre de la misma; únicamente se usa para indicar que termina una demostración, separándola del resto del texto que le sigue.
• Finalmente, fíjese en que la puntuación -como se ha sugerido ya desde la sección 2 de este recurso- cumple un papel importante en cada caso. Los puntos seguidos contribuyen a segmentar cada una de las oraciones que constituyen la demostración, a la cuales también pertenecen los símbolos. Las comas ordenan las ideas; así se ve, por ejemplo, en las oraciones púrpura, varias de las cuales establecen una relación de condicionalidad marcada por este signo. Además, las comas también cumplen un papel importante al aparecer después de los conectores, pues ayudan a remarcar las relaciones entre las ideas. Los dos puntos, por su parte, permiten  anunciar e introducir claramente distintos componentes de la demostración. La puntuación también es, pues, un elemento relevante para la incorporación de los elementos formales en la escritura.

Como se ve, muchos son los elementos que constituyen involucrados en la escritura de una demostración que, en todo caso, debe siempre presentar un sustento para cada uno de los argumentos auxiliares (lemas) que soportan la afirmación principal. Las demostraciones son complejos ejercicios de argumentación y de escritura. Por eso es que existen varios aspectos, como los señalados previamente, que deben ser tenidos en cuenta para construirlas de tal forma que cumplan con su propósito comunicativo y matemático. 

4. Recomendaciones 

En las secciones anteriores se han hecho distintas anotaciones sobre aspectos a tener en cuenta para la escritura de elementos formales en textos de CTIM. Esta sección hace hincapié en algunos de esos elementos y, en general, presenta algunos parámetros útiles para cualquier escrito que usted tenga propuesto realizar, incluidos los escritos del ámbito de CTIM. 

•  Identifique su audiencia, su contexto y revise las instrucciones asociadas a la elaboración de su escrito

La escritura tiene un propósito comunicativo. Por tanto, esta tiene un público objetivo (audiencia), un contexto particular y, dependiendo de estos, puede tener unas instrucciones determinadas. Para comunicarse efectiva y pertinentemente, usted debe identificar estos aspectos y tenerlos en mente.

En primer lugar, pregúntese: ¿cuál es su audiencia? ¿a qué público va dirigido su escrito? No es lo mismo escribir un artículo científico dirigido a investigadores en topología algebraica a escribir una tarea en un curso sobre física estadística. La variación de la audiencia tiene implicaciones en el desarrollo de las ideas.

En segundo lugar, pregúntese ¿en qué contexto comunicativo se enmarca su escrito? No es lo mismo exponer una ponencia en un simposio internacional de lógica difusa a hacer una presentación del mismo tema en un seminario de estudiantes de pregrado. Dependiendo del contexto, aspectos que van desde el tipo de texto hasta su estructura y organización pueden variar.

Por último, pregúntese: ¿existen instrucciones para el desarrollo del texto que estoy realizando? Si sí, ¿cuáles son y de qué tipo son? Las instrucciones pueden ser un insumo valioso que le indique, por ejemplo, el tipo de texto que se espera que escriba y la estructura del mismo. También puede haber instrucciones acerca del contenido del texto: límite de palabras, temática, puntos de vista, entre otros.

• Escriba siempre oraciones completas y puntúe adecuadamente

Como quedó dicho, las ecuaciones están compuestas por oraciones completas. Tenga presente que no es recomendable que comience una oración con un símbolo: aunque esto sea gramaticalmente correcto, puede lucir extraño o confuso para el lector. Adicionalmente, recuerde que una oración debería expresar únicamente una idea; evite que las oraciones que componga sean muy extensas y ambiguas. Para aprender más sobre este asunto, le recomendamos revisar la estructura y función de la oración en el recurso La oración de este portal. 

Por otro lado, recuerde que los elementos formales hacen parte de una oración y, en consecuencia, deben estar puntuados según su función dentro de la misma. Para saber cómo incorporarlos usando adecuadamente la puntuación, usted puede transcribir el elemento formal en lenguaje natural y procurar incluirlo analizando qué propósito y qué posición debe tener dentro de la oración que está redactando. Además, puede revisar el recurso La coma, especialmente las secciones acerca del uso de este signo en oraciones que expresen causas, efectos o explicaciones; así como en oraciones que expresen condiciones o concesiones. Esto le ayudará a construir oraciones que le ayuden a comunicar claramente las ideas, como las oraciones condicionales señaladas en color púrpura en el ejemplo 3.C

•  Equilibre el uso de símbolos y palabras 

Recuerde que, en principio, todos los elementos formales pueden traducirse de símbolos a palabras, pero no necesariamente sucede lo contrario (no todas las palabras pueden ponerse como símbolos. Por eso, es sumamente importante que busque un equilibrio entre los símbolos que va a utilizar y el lenguaje natural (palabras). Todo símbolo debe tener un propósito explícito y consistente para el lector, de modo que siempre debe considerar si el uso de un símbolo es – en realidad – relevante y pertinente. En los casos en que sean irrelevantes, se le recomienda optar por el lenguaje natural (palabras) en lugar de usar símbolos.

•  Evite dibujar rayas y flechas por doquier 

Si usted está realizando un texto escrito a mano (lo cual no es aconsejable), le recomendamos no utilizar flechas o rayas para conectar ideas o elementos formales. Puede que parezca ahorrarle palabras y que es visualmente amigable, pero estos símbolos pueden llegar a ser muy ambiguos y distractores. En cambio, utilice frases de enlace que le permitan transitar del desarrollo de una idea a otra. En particular, estas frases se complementan con el uso de conectores; por eso, le recomendamos revisar el recurso de Conectores discursivos. 

•  ¿Yo? ¿Nosotros? ¿Uno? 

Algunas veces pueden surgir dudas respecto a cuál sujeto gramatical utilizar: ¿yo?, ¿nosotros?, ¿uno? Esta es una cuestión principalmente estilística. Sin embargo, aconsejamos el uso de la primera persona en plural (nosotros) a lo largo de demostraciones, soluciones a problemas y demás textos que conjuguen estos elementos formales. Esto promueve que el lector se involucre y sienta parte del desarrollo del razonamiento abstracto que se presenta. En cualquier caso, puede preguntar a su profesor, revisor o editor cuál es el estilo que es requerido para la elaboración de su texto.  

•  Siempre explique lo que está haciendo

Una forma de garantizar la comprensión del lector es explicarle con precisión lo que se va a hacer y lo que se está haciendo. Exhibir de manera directa y específica el propósito de cada parte de sus razonamientos es importante no solo para que el lector entienda en qué parte del desarrollo de su texto se encuentra, sino para que efectivamente pueda comprender sus razonamientos y convencerse de que estos son pertinentes y garantizan la veracidad de lo que usted comunica.

•  Siempre escriba la demostración inmediatamente después de la proposición

En el caso puntual de las matemáticas (y en algunas situaciones en física), es usual que se haga conveniente probar algunas proposiciones auxiliares (lemas) antes de escribir la prueba de una proposición más general. Sin embargo, tenga en cuenta que si usted comienza la demostración de la proposición general con la prueba de las auxiliares, esto podría confundir al lector, pues distintas pruebas se confundirían. Para evitar esto, lo que debe hacer es enunciar y demostrar cada proposición auxiliar aparte y, finalmente, enunciar y demostrar la proposición general. Considere el siguiente ejemplo. Usted desea probar la  «Afirmación 1» y, para ello, usted encuentra útil probar dos proposiciones auxiliares, «Lema 1» y «Lema 2». Entonces la estructura a seguir sería

                 a) Lema 1          
                 b) Demostración del Lema 1
                 c) Lema 2
                 d) Demostración del Lema 2
                 e) Afirmación 1
                 f) Demostración de la Afirmación 1

Ahora bien, todo lo anterior también aplica para cualquier elemento que se considere auxiliar a la demostración de una proposición. Si en vez de lemas, fueran definiciones las que son convenientes, estas deberían encontrarse antes del enunciado de la proposición a probar.

Tenga en cuenta que incorporar las sugerencias aquí expuestas le ayudará a elaborar textos que cumplan su propósito comunicativo.

5. Lista de chequeo

Halmos (1973) considera que la escritura debe ser un proceso espiral. Si consideramos los pasos de un proceso de escritura como 1, 2, 3, 4, …, es posible que del paso número 2 no siga directamente el número 3, sino que deba volverse al número 1, y así sucesivamente. En ese sentido, la revisión, que es parte fundamental del proceso de escritura, también hace parte de la espiral: es un proceso iterativo que aparece en varios momentos de la escritura. Esta última sección, justamente, le ofrece algunas indicaciones y criterios para que realice una revisión general de sus textos, incluyendo una revisión de la incorporación de los elementos formales en ellos.

Para comenzar, aunque parezca contraintuitivo, para llevar a cabo su proceso de revisión es necesario que deje de lado su texto por un tiempo; de ese modo evitará saturarse y podrá tomar distancia con el mismo. Lo anterior le ayudará a identificar con mayor claridad posibles errores presentes en su texto. Posteriormente, es útil que lea su texto en voz alta y que se fije en si cumple con los siguientes aspectos para que haga un balance de la claridad e integridad de su texto. Hágase las preguntas enlistadas enseguida mientras revisa su texto y verifique si cumple con lo que en ellas se establece:

• • ¿Tiene el texto una estructura clara y coherente?
  • ¿Hay información útil para que el lector pueda entender las partes más difíciles de su texto?
  • ¿Tiene el lector todas las definiciones, símbolos y componentes necesarios para entender cualquier enunciado, demostración, cálculo, fórmula, ecuación o expresión planteado? (Recuerde las explicaciones de las secciones 2 y 3 de este recurso).
  • ¿La notación utilizada es sencilla?
  • ¿La notación cumple es efectiva porque tiene una función clara?
  • ¿Usa la notación de manera consistente?
  • ¿Hay un equilibrio entre el uso de símbolos y palabras?
  • ¿Los pasos relevantes de los cálculos son explicados de manera precisa y sencilla?
  • ¿El lector puede entender qué está calculando y por qué se están haciendo esos cálculos?
  • ¿El lector sabe cuáles son los resultados de esos cálculos?
  • ¿Esos resultados están articulados de modo que haya una respuesta explícita?
  • ¿Puede el lector diferenciar las hipótesis de sus respectivas conclusiones?
  • ¿Son claras y válidas las inferencias lógicas que relacionan a las hipótesis con las conclusiones?
  • ¿Todo enunciado que hace (definiciones, hipótesis, inferencias, conclusiones) está escrito de manera sencilla?
  • ¿Hay un uso consistente y adecuado de la puntuación que permite al lector entender los elementos formales incorporados?

Verificar si cumple con lo establecido en esta lista de preguntas le ayudará a revisar y mejorar su texto. Después de haberlas respondido, queda una última recomendación: solicítele a un tercero que lea su texto y le ofrezca comentarios. Usted puede decidir, según sus propósitos y la audiencia a la que se dirija, si es más conveniente que esa persona sea de su disciplina o alguien externo. No se conforme con un ejercicio de autoedición. La comunicación es un proceso social en sí mismo, de modo que la perspectiva de alguien más puede ayudarle a reconocer cuán claro es para otros el texto que ha construido. 

6. Bibliografía

• Dimitri Bertsekas. (2002). Ten Simple Rules for Mathematical Writing. MIT. https://www.mit.edu/~dimitrib/Ten_Rules.html
• Steenrod et al. (1973). How to write mathematics. AMS.
• Kevin Lee. (s.f.). A Guide to Writing Mathematics. UC Davis.
• Kevin Houston. (2009). How to Write Mathematics. University of Leeds.
• Isaac Newton. (1987). Principios matemáticos de filosofía natural. Tecnos.
• Annalisa Cranell. (1994). Writing in Mathematics. Franklin and Marshall College.
• Steven Krantz. (2016). A Primer of Mathematical Writing. American Mathematical Society.

Nota

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